Единую классификацию моделей составить практически невозможно из-за многозначности понятия «модель» в современной жизни.

Рассмотрим классификацию моделей по степени их абстрагированияот оригинала(рис. 1.1).

Геометрическаямодель отображает пространственные и геометрические свойства оригинала (например, макеты архитектурных сооружений, выставочные модели самолетов, судов, автомобилей).

Физическая модель воспроизводит физические свойства оригинала. Такая модель представляет собой увеличенную или уменьшенную копию оригинала. Физическая модель создается по строгим законам теории подобия.

П р и м е р 1. Установка «Токамак», в которой реализуется термоядерная реакция в микромасштабе, является физической моделью термоядерных реакторов атомных электростанций.

П р и м е р 2 (из области авиастроения). Одной из серьезных задач, решаемых в процессе создания новой модели самолета, является выбор оптимальной обтекаемой формы и оптимизация аэродинамических характеристик. Решение этой задачи можно получить только экспериментальным путем. Конструкторы создают уменьшенную физическую модель самолета и помещают в специальную установку − аэродинамическую трубу, внутри которой создается поток воздуха с той же скоростью, с которой должна лететь модель. Специальные аэродинамические весы фиксируют нагрузки, действующие на отдельные элементы конструкции.

Аналоговая модель имеет физическую природу, отличную от оригинала, но динамика ее внутренних процессов может быть описана теми же математическими соотношениями, которые описывают процессы в моделируемой системе − оригинале. В качестве аналоговых моделей используются электрические, электронные, механические, гидравлические, пневматические и другие системы.

Рассмотрим примеры.

П р и м е р 3. Оригинал–механическая система – маятник, совершающий колебания относительно положения равновесия (рис. 1.2). Модель– электрическая система, представляющая собой колебательный контур (рис. 1.3).

Процесс колебания маятника и процесс изменения напряжения конденсатора во времени (в установившемся режиме) описываются одним и тем же дифференциальным уравнением для незатухающих гармонических колебаний

, (1.1)

где ω – частота колебаний.

Возможность взаимного замещения механической и электрической систем при моделировании основана на следующих положениях:

аналогом кинетической энергии механической системы является энергия магнитного поля электрической системы (накапливается на индуктивности);

аналогом потенциальной энергии механической системы является энергия электрического поля электрической системы (накапливается в конденсаторе).

П р и м е р 4. Оригинал– механическая система (рис. 1.4).

Модель – электрическая система (рис. 1.5)

Для механической системы выполняется условие:

т. е. сумма всех сил, действующих в системе, равна нулю.

Таким образом,

. (1.3)

Для электрической системы выполняется аналогичное условие:

(1.4)

т. е. сумма электродвижущих сил в замкнутой цепи равна сумме падений напряжения на отдельных ее элементах. Следовательно,

. (1.5)

Таким образом, наличию упругой силы в механической системе соответствует наличие напряжения на обкладках конденсатора. Инерционные свойства механической системы (за счет наличия массы m) в электрической системе отражаются с помощью индуктивности . Наличию сил трения в механической системе соответствует наличие активного сопротивления

Мнемоническаямодельотображает свойства объекта (оригинала) посредством схемы, графа, графика, чертежа, диаграммы, химической формулы и т. д. (рис. 1.6).

Математическаямодель отображает свойства объекта (оригинала) на языке математических формул и уравнений.

Вычислительная модель – программа, реализующая алгоритм решения математической модели.

Компьютерная модель представляет собой электронный эквивалент исследуемого объекта. Это комплекс специальных программных и аппаратных средств (абстрактная и физическая составляющие). Схема, представленная на рис. 1.7, отражает основные элементы компьютерного моделирования.

1.3. Математическое моделирование

Математическое моделирование занимает ведущее место среди всех видов моделирования.

Первые математические модели появились на заре развития математики, когда возникла необходимость количественного описания объектов и явлений окружающего мира: теорема Пифагора (VI в. до н. э.), законы Ньютона (XVIII в.), волновые уравнения Максвелла (XIX в.), теория относительности Эйнштейна (XX в.).

В настоящее время математическое моделирование – мощное средство развития науки и познания окружающего мира, а иногда это единственное средство решения проблемы.

П р и м е р 5 . Авиастроение. В предвоенные годы начала развиваться скоростная авиация. Авиаконструкторы столкнулись с серьезной проблемой – явлением «флаттера». Оно заключалось в следующем. Во время экспериментальных полетов на некоторых критических режимах неожиданно возникали резкие вибрации конструкции и самолет в считанные секунды разваливался на части. Причина – резонансные явления, вызванные взаимодействием элементов конструкции самолета и вихревых воздушных потоков на определенных скоростях полета. Проблема была решена академиком М. В. Келдышем. Он разработал математическую модель этого явления, создал на ее основе теорию флаттера и определил средства борьбы с ним.

П р и м е р 6.Энергетика. Прогнозирование будущего поведения атомных и термоядерных реакторов.

П р и м е р 7.Геофизика, астрофизика. Моделирование процессов развития звезд и солнечной активности, долгосрочных прогнозов землетрясений, цунами и т. д.

П р и м е р 8. Генетика. Моделирование законов наследственности и изменчивости организмов.

П р и м е р 9. Биотехнология. Создание новых видов горючего, новых лекарств.

П р и м е р 10. Космическая техника. Расчет траекторий летательных аппаратов, задачи обтекаемости конструкции и т. д.

П р и м е р 11. Задачи оптимального управления системой, процессом.

П р и м е р 12. Разработка новейших современных технологических процессов.

1.3.1. Цели математического моделирования

1) Интерпретация прошлого поведения объекта и обобщение имеющихся знаний о нем на основе выявления основных причинно-следственных связей.

2) Предсказание будущего поведения объекта – прогноз:

а) при варьировании условий испытания объекта (влияние внешних электрических и магнитных полей, колебания температуры, давления, наличие источника радиактивного излучения и т. д.);

б) при имитации экстремальных режимов работы объекта.

3) Обновление и совершенствование старой, ранее построенной модели на основе получения новой информации об оригинале.

4) Оптимизация параметров системы или ее структуры.

5) Создание алгоритма оптимального управления системой с точки зрения заданного критерия.

1.3.2. Требования к математической модели

1) Соответствие цели моделирования.

2) Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с требуемой точностью. Математическая модель не может быть адекватной на всем множестве значений ее параметров. Всегда существует область адекватности модели (ОА) (рис.1.8), которая задается диапазоном значений параметров модели (ΔВ 1 и ΔВ 2), в пределах которого она должна быть адекватной реальному объекту.

1.3.3.Этапы математического моделирования

1-й этап. Постановка цели моделирования. Модель должна замещать реальный объект с такой степенью абстракции, которая более всего выгодна для достижения заданной цели.

2-й этап. Создание концептуальной модели, т. е. содержательного описания моделируемого объекта. Концептуальная модель включает в себя следующие сведения:

− состав и структура объекта;

− причинно-следственные связи между параметрами объекта;

− количество параметров, достаточное для адекватного описания объекта;

− класс исследуемого объекта и создаваемой модели;

− условия функционирования объекта.

На этом этапе разработчику математической модели приходится решать три проблемы.

Проблема 1. Поиск компромисса между простотой модели и ее адекватностью реальному объекту.

Любой реальный объект в процессе функционирования подвергается влиянию множества факторов (внешних и внутренних). Чем большее количество факторов учитывается в модели, тем более адекватной становится модель. Однако при этом она может стать настолько сложной и громоздкой, что возникнут следующие проблемы:

− отсутствие эффективных методов исследования такой модели;

− рост затрат на моделирование превысит рост эффекта от внедрения модели.

Нельзя входить и в другую крайность – чрезмерно упрощать модель за счет пренебрежения влиянием существенных факторов. Это приведет к неадекватности модели и, соответственно, к искажению результатов моделирования. Поэтому необходим жесткий отбор влияющих факторов, их четкое разграничение на основные (О) и второстепенные (В). Основные факторы должны быть учтены в модели, а второстепенные отброшены (рис. 1.9). При этом не наносится существенного ущерба качеству модели.

Проблема 2. Определение границ применимости создаваемой модели.

Результаты, полученные с помощью конкретной модели, считаются справедливыми только в рамках оговоренных условий (в пределах области адекватности).

П р и м е р 13. Сформировать математическую модель, описывающую процесс падения тела на Землю.

В основе этого явления лежит закон всемирного тяготения, сформулированный Ньютоном: любые два тела притягиваются с силой, прямо пропорциональной произведению их масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Если в качестве этих двух тел рассматривать металлический шарик и Землю, то на языке математики падение шарика можно описать соотношением:

где – постоянная;

m и М З – масса шарика и Земли,

R – расстояние между центрами притягивающихся тел.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила F, то его движение описывается соотношением:

Так как рассматривается процесс падения тела, то следует a заменить на ускорение свободного падения . Тогда модель падения шара примет вид:

или – (1.8)

это модель в общем виде. Теперь необходимо ее конкретизировать для данных условий проведения эксперимента. Опыт с шаром проводится в лаборатории (т. е. вблизи поверхности Земли). Следовательно, можно принять, что расстояние между центрами Земли и шарика равно радиусу Земли: R= R З. Тогда математическая модель примет вид:

Эта модель позволяет дать исчерпывающее описание процесса падения шара в любой момент времени t: определить высоту h, на которой находится шар, а также его скорость v:

(1.10)

(1.11)

Границы применимости этой модели:

– тело падает с небольшой высоты, пренебрежимо малой по сравнению с радиусом Земли;

– тело имеет компактную форму и обладает достаточной массой;

– можно пренебречь фактором сопротивления воздуха.

При нарушении хотя бы одного из этих условий данная модель не будет адекватной. Например, эту модель нельзя применить для описания следующих процессов: приземления парашютиста, падения листьев с дерева, падения осколка метеорита на Землю и т. д.

В каждом из перечисленных случаев в различной степени сказывается влияние таких ранее не учтенных факторов, как сила сопротивления воздуха, притяжение Луны, Солнца, убывание плотности атмосферы с высотой, вращение Земли, ветер, по-разному дующий на разных высотах, фактическое отличие формы Земли от шара (она является телом более сложной геометрической формы).

Проблема 3. Определение уровня детализации исследуемого объекта.

Любая физическая система представляет собой совокупность элементов. Каждый элемент в свою очередь можно расчленить на подэлементы. Процесс расчленения теоретически может быть бесконечным. Задача исследователя – выбрать оптимальный уровень детализации моделируемого объекта. Уровень детализации определяется целью моделирования и степенью знаний о свойствах элементов объекта.

Детализацию целесообразно производить до такого уровня, на котором для каждого элемента можно определить зависимость параметров выходных сигналов от параметров входных сигналов. Стремление повысить уровень детализации приводит к чрезмерной громоздкости модели и резкому увеличению ее размерности.

3-й этап. Формирование математической модели, т. е. запись модели в формализованном виде:

– все соотношения записывают в аналитической форме;

– логические условия выражают в виде систем неравенств;

– случайные процессы заменяют их типовыми моделями.

4-й этап. Исследование математической модели. Инструментами исследования являются численные и аналитические методы.

5-й этап.Анализ результатов моделирования с последующим выводом об адекватности модели либо о необходимости ее доработки, либо о ее непригодности.

1.3.4. Классификация математических моделей

Математические модели можно классифицировать по форме их представления (рис. 1.10). За основу второй классификации (рис. 1.11) взят характер модели.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ФОРМЕ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Понятие модели и классификация моделей

Решение задач, связанных с исследованием, проектированием, совершенствованием систем (особенно, сложных организационно-экономических или технических) бывает невозможно, трудно или нерационально проводить на самих этих системах.

К подобным задачам относятся, например, разработка и внедрение оптимальных вариантов бизнес-процессов на предприятии. Теоретически, можно сначала попробовать внедрить каждый из возможных вариантов бизнес-процессов и путем простого сравнения по некоторым показателям выбрать наилучший. Однако, практически это приведет к таким затратам времени и сил, после которых не всякое предприятие сможет выжить. Очевидно, что нужна некоторая предварительная оценка, «проигрывание» вариантов бизнес-процессов на каком-то упрощенном представлении самого предприятия и (или) процесса.

Другим примером может быть проведение экспериментов, позволяющим в масштабах отрасли, региона или государства внедрять новые технологии, варианты организационных структур, варианты взаимодействия предприятий и т.п. В подобных случаях, как правило, для проверки новшеств выбираются некоторые «типичные» предприятия (регионы, города), которые заменяя собой остальные предприятия (регионы, города) выступают в качестве объекта эксперимента.

В этих и других случаях исходная система заменяется некоторой другой материальной или абстрактной системой. Эта вторая система называется моделью. Первую же будем называть «объект моделирования» или «объект-оригинал». Дадим следующее определение.

Модель - это материальная или идеальная система, которая в определенных условиях может заменить объект-оригинал и служит для получения информации об объекте-оригинале и (или) других объектах, с ним связанных.

Уточняя определение, сформулируем следующие важные положения:

Модель - идеальный или материальный объект;

Модель - отображение или воспроизводство объекта-оригинала;

Модель - источник получения информации.

Можно перечислить характерные случаи, в которых требуется модель (как в научно-исследовательской, так и в производственной деятельности):

Когда объект-оригинал есть сложная система, непосредственное изучение которой затруднено, невозможно или экономически невыгодно;

Когда непосредственное эксперементирование с объектом-оригиналом может оказать разрушительное воздействие на него или другие объекты, с ним связанные;

Когда необходимо спрогнозировать возможное состояние или поведение объекта в будущем;

Когда необходимо разработать варианты и выбрать оптимальное решения, связанное с функционированием объекта-оригинала;

Когда объект-оригинал еще не существует в материальном виде, однако уже на этапе проектирования требуется представить информацию об этом объекте, оценить эффективность выбранных методов и средств его разработки;

Когда в практической деятельности необходимо упрощенное представление информации об объекте оригинале с целью информационного обеспечения людей, работающих с ним;

При обучении работе с моделируемой системой, в играх и т.п.

Термин моделирование означает исследование объектов с помощью их моделей. В более широком смысле слова моделирование понимается как процесс, включающий в себя не только исследование, но и разработку модели (рис.3.1).

Экспериментальное исследование реальных объектов на их моделях называется модельным экспериментом. В модельном эксперименте модель выступает одновременно и средством, и объектом исследования. При этом модель может применяться как для замещения самого объекта, так и быть замещением некоторых внешних условий и (или) систем, связанных с исследуемым объектом в реальном мире.

Чтобы выполнять свои функции, модель должна удовлетворять двум основным требованиям: быть достаточно простой, чтобы в отличие от оригинала ее можно было исследовать, экспериментировать с ней; быть подобной объекту-оригиналу, с необходимой полнотой воспроизводить его свойства.

Эти требования в некоторой степени противоречат друг другу. Действительно, наиболее подобной оригиналу будет модель, которая в точности воспроизводит его состав и структуру. Однако, в этом случае модель не станет упрощением объекта-оригинала. Поэтому подобие должно быть адекватным решаемой задаче. Так, если решается задача разработки оптимального плана выпуска продукции, нет смысла строить макет предприятия в масштабе один к одному. Для таких задач используются специальные математические модели, которые позволяют не только разработать план выпуска, но и определить условия, для которых он будет оптимальным.

Определение возможных видов моделей и границ их применимости позволяет заранее указать на способы и средства, с помощью которых могут быть решены те или иные задачи моделирования. Иначе говоря, для построения простых и адекватных задачам исследования моделей необходимо представлять, какие виды моделей существуют, в каких случаях они используются и какими выразительными возможностями обладают.

По средствам построения моделей они делятся на следующие обобщенные классы, которые показаны на рис.3.2. Материальные (предметные) модели являются моделями, которые воплощены в каких-то материальных объектах, имеющих искусственное или естественное происхождение. Среди них выделяют физические модели, которые представляют собой объекты той же природы, что и объекты-оригиналы. Этот вид моделей широко используется в технике при испытании и эксплуатации каких либо образцов. Например, путем физического моделирования (проведения натурных испытаний) определяются технико-экономические характеристики экспериментального образца (автомобили, станка, ЭВМ, самолета и т.п.) и затем результаты испытаний распространяются на все другие экземпляры данного типа. В экономике широко используются эксперименты на отдельных предприятиях для оценки показателей других предприятий данного класса.

В предметно-математических моделях не ставится задача воспроизвести физическое подобие с объектом-оригиналом. Главным здесь является воспроизведение закономерностей протекания процессов. Таким образом, предметно-математические модели обладают такими характерными чертами:

Они воплощаются в предмете (материальны);

Процессы, протекающие в таких моделях, отличны по природе от процессов в объекте-оригинале;

Процессы в модели и объекте-оригинале подчиняются одним и тем же закономерностям. Практически это означает, что процессы в модели и в объекте-оригинале могут быть описаны с помощью одних и тех же математических зависимостей.

Рис. 3.2. Обобщенная классификация моделей по средствам построения

Среди предметно-математических можно выделить такие виды моделей как:

Компьютерная (машинная) модель, в которой основой для моделирования процессов являются математические выражения, описывающие зависимости между их параметрами. Эти модели есть, по существу, компьютерными реализациями знаковых математических моделей (см. ниже);

Полунатурная модель, в которой наряду с ЭВМ используются отдельные блоки реальных систем, функционирующие под управлением людей или самой ЭВМ;

Модель-аналог, когда одна реальная система используется для моделирования другой системы, отличной по своей природе от первой.

В классе идеальных моделей выделяют мысленные (существующие в виде мысленных образов) и знаковые модели. Последние объединяет в себе довольно разнообразные модели, отличающиеся прежде всего по степени формализации действительности. Можно выделить следующие основные виды знаковых моделей:

Описательные модели (алгоритмы, программы, тексто-графические описания и т.п.);

Схематические модели (различные блок-схемы, диаграммы и т.п.);

Графоаналитические модели (построенные с помощью инструментариев различных сетей, графов);

Математические (говорят еще - логико-математические) модели.

Приведенная классификация является достаточно условной и, по-видимому, неполной. Важно отметить, что в процессе решения прикладных задач могут использоваться последовательно или даже одновременно разные модели. Так, моделирование с целью оптимизации организационной структуры и технологий бизнеса на предприятии выполняется, как правило, с использованием большого числа различных моделей. На первом этапе формируется примерный мысленный образ и описательная модель целевой системы. Для лаконичного структурированного отображения самого предприятия и процессов, в нем протекающих, используются различные варианты структурных схем и диаграмм (например, диаграммы потоков данных - DFD, диаграммы процессов в методологии IDEF0 и др., более подробно см. в ). Для количественного выражения и оптимизации критериев качества бизнес-процессов могут быть применены математические оптимизационные модели, для исследования которых, в свою очередь, применяются программно-аппаратные средства ЭВМ, т.е. предметно-математические модели. В общем случае, сначала строится комплекс знаковых моделей, которые в совокупности отображают текущее положение дел на предприятии. Потом строятся модели, которые отображают целевое состояние предприятии (организационную структуру, бизнес-процессы и функции, роли и обязанности управленческого персонала и др.). В практике реинжиниринга первый комплекс в совокупности называется информационной моделью «как есть» (as-is); второй - моделью «как должно быть» (to-be).

Предметно-математические и логико-математические модели образуют основу математического моделирования в широком смысле. По существу предметно-математические модели служат средством технической реализации моделей математических и, следовательно, предполагают существование последних. Рассмотрим математическом моделирование более подробно.

ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ КЛАССИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КЛАССИФИКАЦИЯ С УЧЕТОМ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ И ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПО СПОСОБУ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Материальные и информационные модели Знаковые и вербальные информационные модели Компьютерные и некомпьютерные модели Контрольные вопросы

ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ КЛАССИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ

В предыдущем параграфе вы познакомились с объектами моделирования и убедились в их многообразии. Оно зависит от разнообразия как объектов, так и их конкретных моделей.

Как разложить все это многообразие «по полочкам», т. е. классифицировать? В различных областях науки вы уже сталкивались с классификацией. Например, в биологии и зоологии - это систематика растений и животных, в химии - Периодическая таблица Менделеева, в грамматике - классификация слов по частям речи .

С чего начинается классификация? Любая систематизация - это разделение объектов на «родственные» группы, имеющие один или несколько общих признаков. Здесь важно прежде всего правильно выделить некий единый признак (параметр), а затем объединить те объекты, у которых он совпадает.

Например, вы рассматриваете акварель - пейзаж возле реки. Чтобы сгруппировать изображенные на ней объекты, сначала следует определить основной, объединяющий их признак, предположим, желтый цвет. Затем надо выделить те объекты, которые соответствуют такому признаку. В группу войдут: солнце, одуванчики, песок. То же самое можно сделать и с моделями.

Рассмотрим наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели:

область использования; учет в модели временного фактора (динамики); отрасль знаний; способ представления моделей.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПО ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Если рассматривать модели с позиции для чего, с какой целью они используются, то можно применять классификацию, изображенную на рис. 1.

Рис. 1. Классификация моделей по области использования

Учебные модели - это могут быть наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы.

Опытные модели - это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Их называют также натурными и используют для исследования объекта и прогнозирования его будущих характеристик.

Например, модель корабля испытывается в бассейне для определения устойчивости судна при качке, а уменьшенная копия автомобиля «продувается» в аэродинамической трубе для изучения обтекаемости его кузова. На модели проверяется каждый элемент конструкции здания, а модель гидростанции еще при разработке проекта помогает решить гидротехнические, экологические и многие другие проблемы.

Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений. К ним можно отнести, например, и синхротрон - ускоритель электронов, и прибор, имитирующий разряд молнии, и стенд для проверки телевизоров.

Игровые модели - это военные, экономические, спортивные, деловые игры . Они как бы репетируют поведение объекта в различных ситуациях, проигрывая их с учетом возможной реакции со стороны конкурента, союзника или противника. Игровые модели позволяют оказывать психологическую помощь больным либо разрешать конфликтные ситуации.

Имитационные модели не просто отражают реальность с той или иной степенью точности, а имитируют ее. Эксперимент либо многократно повторяется, чтобы изучить и оценить последствия каких-либо действий на реальную обстановку, либо проводится одновременно со многими другими похожими объектами, но поставленными в разные условия. Подобный метод выбора правильного решения называется методом проб и ошибок. К примеру, в ряде опытов на мышах испытывается новое лекарственное средство, чтобы выявить побочные действия и уточнить дозировки.

Другим примером такого моделирования могут служить эксперименты в обычных школах. Предположим, хотят ввести новый предмет «Основы вождения». Выбирают ряд школ для эксперимента. В одной учат водить грузовик, в другой - собранный учащимися легковой автомобиль, а в третьих все сводится к знакомству с правилами дорожного движения (моделирование различных ситуаций на дорогах). Регулярная проверка занятий и анализ результатов внедрения нового предмета во множестве классов помогает сделать вывод о целесообразности такого предмета во всех школах страны.

КЛАССИФИКАЦИЯ С УЧЕТОМ ФАКТОРА ВРЕМЕНИ И ОБЛАСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

Как уже упоминалось, одна из классификаций связана с фактором времени. Модели можно разделить на статические и динамические (рис. 2) по тому, как отражается в них динамика происходящих процессов.

Рис. 2. Классификация моделей по временному фактору

Статическая модель - это как бы одномоментный срез информации по объекту. Например, обследование учащихся в стоматологической поликлинике дает картину состояния их ротовой полости на данный момент времени: число молочных и постоянных зубов, пломб, дефектов и т. п.

Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени. В примере с поликлиникой карточку школьника, отражающую изменения, происходящие с его зубами за многие годы, можно считать динамической моделью.

При строительстве дома рассчитывают прочность и устойчивость к постоянной нагрузке его фундамента, стен, балок - это статическая модель здания. Но еще надо обеспечить противодействие ветрам, движению грунтовых вод, сейсмическим колебаниям и другим изменяющимся во времени факторам. Это можно решить с помощью динамических моделей.

Как видно из примеров, один и тот же объект возможно изучать, применяя и статическую и динамическую модели.

Можно классифицировать модели и по тому, к какой области знаний они принадлежат (биологические, социологические, исторические и т. п.), и по множеству других факторов.

КЛАССИФИКАЦИЯ ПО СПОСОБУ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Подробнее рассмотрим классификацию всего многообразия моделей по способу представления. Ее схема показана на рис. 3.

Рис. 3. Классификация моделей по способу представления

Как видим, здесь модели делятся на две большие группы: материальные и информационные . Названия этих групп как бы показывают, из чего «сделаны» модели.

Материальные и информационные модели

Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение.

Самые простые примеры материальных моделей - детские игрушки. По ним ребенок получает первое представление об окружающем мире. Двухлетний малыш играет с плюшевым медвежонком. Когда, спустя годы, ребенок увидит в зоопарке настоящего медведя, он без труда узнает его.

Материальные модели - это, к примеру, чучела птиц в кабинете биологии, карты при изучении истории и географии, схемы солнечной системы и звездного неба на уроках астрономии , макет многоступенчатой ракеты и еще многое другое.

Материальные модели - это не только школьные пособия, но и различные физические и химические опыты. В них моделируются процессы , например реакция между водородом и кислородом. Такой опыт сопровождается оглушительным хлопком. Модель предупреждает о последствиях возникновения «гремучей смеси» из безобидных и широко распространенных в природе веществ.

Подобные модели реализуют материальный подход к изучению объекта, явления или процесса.

Информационные модели нельзя потрогать или увидеть воочию, они не имеют материального воплощения, потому что они строятся только на информации. В основе этого метода моделирования лежит информационный подход к изучению окружающей действительности.

Информационная модель - совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром.

Знаковые и вербальные информационные модели

Информация, характеризующая объект или процесс, может иметь разный объем и форму представления, выражаться различными средствами. Это многообразие настолько безгранично, насколько велики возможности каждого человека и его фантазии.

К информационным моделям можно отнести вербальные (от лат. «verbalis» - устный) модели, полученные в результате раздумий, умозаключений. Они могут так и остаться мысленными или быть выражены словесно. Примером такой модели может стать наше поведение при переходе улицы. Человек анализирует ситуацию на дороге (что показывает светофор, как далеко находятся машины, с какой скоростью они движутся и т. п.) и вырабатывает свою модель поведения. Если ситуация смоделирована правильно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти авария. К таким моделям можно отнести и идею, возникшую у изобретателя, и музыкальную тему, промелькнувшую в голове композитора, и рифму, прозвучавшую пока еще в сознании поэта.

Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме.

Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка.

Знаковые модели окружают нас повсюду. Это рисунки, тексты, графики и схемы... Вербальные и знаковые модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в знаковую форму. И наоборот, знаковая модель помогает сформировать в сознании верный мысленный образ.

Согласно легенде, яблоко, упавшее на голову Ньютону, вызвало в его сознании мысль о земном притяжении. И только впоследствии эта мысль оформилась в закон, т. е. обрела знаковую форму.

Человек прочитал текст, объясняющий некоторое физическое явление, и у него сформировался мысленный образ. В дальнейшем такой образ поможет распознать реальное явление.

По форме представления можно выделить следующие виды информационных моделей:

геометрические модели - графические формы и объемные конструкции; словесные модели - устные и письменные описания с использованием иллюстраций; математические модели - математические формулы, отображающие связь различных параметров объекта или процесса; структурные модели - схемы, графики, таблицы и т. п.; логические модели - модели, в которых представлены различные варианты выбора действий на основе умозаключений и анализа условий; специальные модели - ноты, химические формулы и т. п.; компьютерные и некомпьютерные модели .

Компьютерные и некомпьютерные модели

Многообразие моделей предполагает огромный спектр инструментов для их реализации. Существует немало формальных языков, относящихся к разным областям деятельности, пригодных для описания моделей.

Если модель имеет материальную природу, то для ее создания годятся традиционные инструменты: резец скульптора, кисть художника, фотоаппарат, токарный или фрезерный станок, пресс, наконец пила и топор.

Если модель выражена в абстрактной, умозрительной форме, то нужны некоторые знаковые системы, позволяющие описать ее, - специальные языки, чертежи, схемы, графики, таблицы, алгоритмы, математические формулы и т. п. Здесь могут быть использованы два варианта инструментария: либо традиционный набор инженера или конструктора (карандаш, линейка), либо самый совершенный в наши дни прибор - компьютер.

Вот так мы подошли еще к одной ступени классификации информационных знаковых моделей: по способу реализации они подразделяются на компьютерные и некомпьютерные модели.

Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды.

Имея дело с компьютером как с инструментом, нужно помнить, что он работает с информацией. Поэтому следует исходить из того, какую информацию и в каком виде может воспринимать и обрабатывать компьютер.

Современный компьютер способен работать со звуком, видеоизображением, анимацией, текстом, схемами, таблицами и т. д. Но для использования всего многообразия информации необходимо как техническое (Hardware), так и программное (Software) обеспечение. И то и другое - инструменты компьютерного моделирования.

Например, для работы со звуком нужна специальная плата в компьютере, звуковая карта и специализированное программное обеспечение . Для композитора это, к примеру, профессиональный музыкальный редактор, который позволяет не только набрать нотный текст и распечатать его, но и сделать аранжировку произведения. Расписав ноты для разных инструментов, композитор может прослушивать их звуковые модели отдельно и в ансамбле. Цифровое звучание компьютерных моделей почти не отличается от тембра реальных инструментов. Компьютер позволяет соединять реальный голос певца со звуковой моделью мелодии, а также моделировать голос разной высоты и тембра (тенор, драматический бас и т. п.). Существуют программы, с помощью которых компьютер может создавать композиции самостоятельно в соответствии с заданным ритмом, темпом, музыкальным стилем и т. п.

Рассмотрим другой пример. Инструментом для создания геометрической модели, передающей внешний облик прототипа, могут быть программы, работающие с графикой, например графический редактор. С его помощью возможно моделировать как плоское, так и объемное изображение, управляя графическими объектами.

Сейчас имеется широкий круг программ, позволяющих создавать различные виды компьютерных знаковых моделей: текстовые процессоры, редакторы формул, электронные таблицы, системы управления в базах данных , профессиональные системы проектирования, а также различные среды программирования.

Контрольные вопросы

Приведите примеры классификаций в жизни. По каким признакам можно классифицировать модели? Приведите примеры учебных моделей. Чем отличаются статические модели от динамических? Приведите примеры статических и динамических моделей. Что такое материальные модели? Что такое информационная модель?

При использовании метода моделирования свойства и поведение объекта изучают путем применения вспомогательной системы – модели, находящейся в определенном объективном соответствии с исследуемым объектом.

Под объектом исследования понимается либо некоторая система, элементы которой в процессе достижения конечной цели реализуют один или несколько процессов, либо некоторый процесс, реализуемый элементами одной или нескольких систем. В связи с этим в дельнейшем тексте термины «модель объекта», «модель системы», «модель процесса» следует воспринимать как эквивалентные.

Представления о тех или иных свойствах объектов, их взаимосвязях формируются исследователем в виде описания этих объектов на обычном языке, в виде рисунков, графиков, формул или реализуются в виде макетов и других устройств. Подобные способы описания обобщаются в едином понятии – модель , а построение и изучение моделей называется моделированием .

Заслуживает предпочтения следующее определение: модель – объект любой природы, который создается исследователем с целью получения новых знаний об объекте-оригинале и отражает только существенные (с точки зрения разработчика) свойства оригинала.

Модель считается адекватной объекту-оригиналу, если она с достаточной степенью приближения на уровне понимания моделируемого процесса исследователем отражает закономерности процесса функционирования реальной системы во внешней среде.

Модели позволяют вынести упрощенное представление о системе и получить некоторые результаты намного проще, чем при изучении реального объекта. Более того, гипотетически модели объекта могут быть исследованы и изучены перед тем, как объект будет создан.

В практике исследования производственно-экономических объектов модели могут применяться для самых разных целей, что вызывает использование моделей различных классов. Построение одной-единственной математической модели для сложной производственной системы практически не представляется возможным без разработки вспомогательных моделей. Поэтому, как правило, при создании конечной математической модели исследуемого объекта строят частные вспомогательные модели, отражающие ту или иную информацию об объекте, имеющуюся у разработчика на данном этапе построения модели.

В основе моделирования лежит теория подобия , которая утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта.

Классификационные признаки. В качестве одного из первых признаков классификации видов моделирования можно выбрать степень полноты модели и разделить модели в соответствии с этим признаком на полные, неполные и приближенные. В основе полного моделирования лежит полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту. В основе приближенного моделирования лежит приближенное подобие, при котором некоторые стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем. Классификация видов моделирования систем S приведена на рис.1.1.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, т.е. процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики, т.е. набор однородных реализаций. Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для тех случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.

В зависимости от формы представления объекта (системы S ) можно выделить мысленное и реальное моделирование.

Мысленное моделирование часто является единственным способом моделирования объектов, которые либо практически нереализуемы в заданном интервале времени, либо существуют вне условий, возможных для их физического создания. Например, на базе мысленного моделирования могут быть проанализированы многие ситуации микромира, которые не поддаются физическому эксперименту. Мысленное моделирование может быть реализовано в виде наглядного, символического и математического.

Рис. 1.1. Классификация видов моделирования систем

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. В основу гипотетического моделирования исследователем закладывается некоторая гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Гипотетическое моделирование используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Наивысшим уровнем является полная аналогия, имеющая место только для достаточно простых объектов. С усложнением объекта используют аналогии последующих уровней, когда аналоговая модель отображает несколько либо только одну сторону функционирования объекта.

Существенное место при мысленном наглядном моделировании занимает макетирование .Мысленный макет может применяться в случаях, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию, либо может предшествовать проведению других видов моделирования. В основе построения мысленных макетов также лежат аналогии, однако обычно базирующиеся на причинно-следственных связях между явлениями и процессами в объекте. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий – составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Используя операции объединения, пересечения и дополнения теории множеств, можно в отдельных символах дать описание какого-то реального объекта.

В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус. Последний образует из наборов входящих понятий, причем этот набор должен быть фиксированным. Следует отметить, что между тезаурусом и обычным словарем имеются принципиальные различия. Тезаурус – словарь, который очищен от неоднозначности, т.е. в нем каждому слову может соответствовать лишь единственное понятие, хотя в обычном словаре одному слову могут соответствовать несколько понятий.

Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает основные свойства его отношений с помощью определенной системы знаков и символов.

Математическое моделирование. Для исследования характеристик процесса функционирования любой системы S математическими методами, включая и машинные, должна быть проведена формализация этого процесса, т.е. построена математическая модель.

Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи. Любая математическая модель, как и всякая другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Математическое моделирование для исследования характеристик процесса функционирования систем можно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное.

Для аналитического моделирования характерно то, что процессы функционирования элементов системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегродифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий. Аналитическая модель может быть исследована следующими методами: а) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явные зависимости для искомых характеристик; б) численным, когда, не умея решать уравнения в общем виде, стремятся получить числовые результаты при конкретных начальных данных; в) качественным, когда, не имея решения в явном виде, можно найти некоторые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Наиболее полное исследование процесса функционирования системы можно провести, если известны явные зависимости, связывающие искомые характеристики с начальными условиями, параметрами и переменными системы S . Однако такие зависимости удается получить только для сравнительно простых систем. При усложнении систем исследование их аналитическим методом наталкивается на значительные трудности, которые часто бывают непреодолимыми. Поэтому, желая использовать аналитический метод, в этом случае идут на существенное упрощение первоначальной модели, чтобы иметь возможность изучить хотя бы общие свойства системы. Такое исследование на упрощенной модели аналитическим методом помогает получить ориентировочные результаты для определения более точных оценок другими методами. Численный метод позволяет исследовать по сравнению с аналитическим методом более широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер. Численный метод особенно эффективен при использовании ЭВМ.

В отдельных случаях исследования системы могут удовлетворить и те выводы, которые можно сделать при использовании качественного метода анализа математической модели. Такие качественные методы широко используются, например, в теории автоматического управления для оценки эффективности различных вариантов систем управления.

В настоящее время распространены методы машинной реализации исследования характеристик процесса функционирования больших систем. Для реализации математической модели на ЭВМ необходимо построить соответствующий моделирующий алгоритм.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы S.

Основным преимуществом имитационного моделирования по сравнению с аналитическим является возможность решения более сложных задач. Имитационные модели позволяют достаточно просто учитывать такие факторы, как наличие дискретных и непрерывных элементов, нелинейные характеристики элементов системы, многочисленные случайные воздействия и др., которые часто создают трудности при аналитических исследованиях. В настоящее время имитационное моделирование – наиболее эффективный метод исследования больших систем, а часто и единственный практически доступный метод получения информации о поведении системы, особенно на этапах ее проектирования.

Когда результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы S, Являются реализациями случайных величин и функций, тогда для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации и целесообразно в качестве метода машинной реализации имитационной модели использовать метод статистического моделирования. Первоначально был разработан метод статистических испытаний, представляющий собой численный метод, который применялся для моделирования случайных величин и функций, вероятностные характеристики которых совпадали с решениями аналитических задач (такая процедура получила название метода Монте-Карло). Затем этот прием стали применять и для машинной имитации с целью исследования характеристик процессов функционирования систем, подверженных случайным воздействиям, т.е. появился метод статистического моделирования. Таким образом, методом статистического моделирования будем в дальнейшем называть метод машинной реализации имитационной модели, а методом статистических испытаний (Монте-Карло) – численный метод решения аналитической задачи.

Метод имитационного моделирования позволяет решать задачи анализа больших систем S , включая задачи оценки: вариантов структуры системы, эффективности различных алгоритмов управления системой, влияния изменения различных параметров системы. Имитационное моделирование может быть положено также в основу структурного, алгоритмического и параметрического синтеза больших систем, когда требуется создать систему, с заданными характеристиками при определенных ограничениях, которая является оптимальной по некоторым критериям оценки эффективности.

При решении задач машинного синтеза систем на основе их имитационных моделей помимо разработки моделирующих алгоритмов для анализа фиксированной системы необходимо также разработать алгоритмы поиска варианта системы. Бале в методологии машинного моделирования будем различать два основных раздела: статику и динамику, – основным содержанием которых являются соответственно вопросы анализа и синтеза систем, заданных моделирующими алгоритмами.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная декомпозиция процесса функционирования объекта на составляющие подпроцессы и для тех из них, где это возможно, используются аналитические модели. Такой комбинированный подход позволяет охватить качественно новые классы систем, которые не могут быть исследованы с использованием только аналитического и имитационного моделирования в отдельности.

Другие виды моделирования . При реальном моделировании используется возможность исследования различных характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Такие исследования могут проводиться как на объектах, работающих в нормальных режимах, так и при организации специальных режимов для оценки интересующих исследователя характеристик (при других значениях переменных и параметров, в другом масштабе времени и т.п.). Реальное моделирование является наиболее адекватным, но при этом его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования АСУ предприятием потребует, во-первых, создания такой АСУ, а во-вторых, проведения экспериментов с управляемым объектом, т.е. предприятием, что в большинстве случаев невозможно.

К основным разновидностям реального моделирования относятся:

Натурное моделирование , под которым понимают проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Необходимо отметить, что такие разновидности натурного эксперимента, как производственный эксперимент и комплексные испытания, обладают высокой степенью достоверности.

Физическое моделирование отличается от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.

С точки зрения математического описания объекта и в зависимости от его характера модели можно разделить на модели аналоговые (непрерывные), цифровые (дискретные) и аналого-цифровые (комбинированные). Под аналоговой моделью понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими непрерывные величины. Под цифровой понимается модель, которая описывается уравнениями, связывающими дискретные величины, представленные в цифровом виде. Под аналого-цифровой понимается модель, которая может быть описана уравнениями, связывающими непрерывные и дискретные величины.

Особое место в моделировании занимает кибернетическое моделирование , в котором отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию и рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Чаще всего при использовании кибернетических моделей проводят анализ поведенческой стороны объекта при различных воздействиях внешней среды. Таким образом, в основе кибернетических моделей лежит отражение некоторых информационных процессов управления, что позволяет оценить поведение реального объекта. Для построения имитационной модели в этом случае необходимо выделить исследуемую функцию реального объекта, попытаться формализовать эту функцию в виде некоторых операторов связи между входом и выходом и воспроизвести на имитационной модели данную функцию, причем на базе совершенно иных математических соотношений и, естественно, иной физической реализации процесса.

Целевое назначение модели. По целевому назначению модели подразделяются на модели структуры, функционирования и стоимостные (модели расхода ресурсов).

Модели структуры отображают связи между компонентами объекта и внешней средой и подразделяются на:

v каноническую модель , характеризующую взаимодействие объекта с окружением через входы и выходы;

v модель внутренней структуры , характеризующую состав компонентов объекта и связи между ними;

v модель иерархической структуры (дерево системы), в которой объект (целое) расчленяется на элементы более низкого уровня, действия которых подчинены интересам целого.

Модель структуры обычно представляется в виде блок-схемы, реже графов и матриц связей.

Модели функционирования включают широкий спектр символических моделей, например:

модель жизненного цикла системы, описывающая процессы существования системы от зарождения замысла ее создания до прекращения функционирования;

модели операций, выполняемых объектом и представляющих описание взаимосвязанной совокупности процессов функционирования отдельных элементов объекта при реализации тех или иных функций объекта. Так, в состав моделей операций могут входить модели надежности, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием эксплуатационных факторов, и модели живучести факторов, характеризующие выход элементов системы из строя под влиянием целенаправленного воздействия внешней среды;

информационные модели, отображающие во взаимосвязи источники и потребители информации, виды информации, характер ее преобразования, а также временные и количественные характеристики данных;

процедурные модели, описывающие порядок взаимодействия элементов исследуемого объекта при выполнении различных операций, например обработки материалов, деятельности персонала, использования информации, в том числе и реализации процедур принятия управленческих решений;

временные модели, описывающие процедуру функционирования объекта во времени и распределение ресурса «время» по отдельным компонентам объекта.

Стоимостные модели, как правило, сопровождают модели функционирования объекта и по отношению к ним вторичны, «питаются» от них информацией и совместно с ними позволяют проводить комплексную технико-экономическую оценку объекта или его оптимизацию по экономическим критериям.

При анализе и оптимизации производственно-экономических объектов проводится объединение построенных математических функциональных моделей с математическими стоимостными моделями в единую экономико-математическую модель.

Насколько можно судить по литературным источникам общепринятой классификации моделей экономических систем пока не существует. Однако представляется достаточно полезной классификация математических моделей экономических систем, приведенная в книге Т. Нейлора «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем» (1971 г.) (рис. 1.2).

Рис.1.2. Классификация экономических моделей

Экономико-математической моделью (ЭММ) называется выражение, состоящее из совокупности связанных между собой математическими зависимостями (формулами, уравнениями, неравенствами, логическими условиями величин – факторов, все или часть которых имеют экономический смысл. По своей роли в ЭММ эти факторы целесообразно подразделить на параметры и характеристики (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Классификация факторов по их роли в ЭВМ

При этом параметрами объекта называются факторы, характеризующие свойства объекта или составляющих его элементов. В процессе исследования объекта ряд параметров может изменяться, поэтому они называются переменными, которые в свою очередь подразделяются на переменные состояния и переменные управления. Как правило, переменные состояния объекта являются функцией переменных управления и воздействий внешней среды. Характеристиками (выходными характеристиками) называются интересующие исследователя непосредст-венные конечные результаты функционирования объекта (естественно, что выходные характеристики являются переменными состояния). Соответственно характеристики внешней среды описывают свойства внешней среды, которые сказываются на процессе и результате функционирования объекта. Значения ряда факторов, определяющие начальное состояние объекта или внешней среды, называются начальными условиями.

При рассмотрении ЭММ оперируют следующими понятиями: критерий оптимальности, целевая функция, система ограничений, уравнения связи, решение модели.

Критерием оптимальности называется некоторый показатель, имеющий экономическое содержание, служащий формализацией конкретной цели управления и выражаемый при помощи целевой функции через факторы модели. Критерий оптимальности определяет смысловое содержание целевой функции. В ряде случаев в качестве критерия оптимальности может выступать одна из выходных характеристик объекта.

Целевая функция математически связывает между собой факторы модели, ее значение определяется значениями этих величин. Содержательный смысл целевой функции придает только критерий оптимальности.

Не следует смешивать критерий оптимальности и целевую функцию. Так, например, критерий прибыли и стоимости произведенной продукции могут описываться одной и той же целевой функцией:

, (1.1)

где – номенклатура производимой продукции; – объем выпуска i -ой номенклатуры; – прибыль от выпуска единицы i -ой номенклатуры или стоимость единицы i -ой номенклатуры в зависимости от смысла критерия оптимальности.

Критерий прибыли может рассчитываться и по нелинейной целевой функции:

, (1.2)

Если прибыль от выпуска единицы i -ой номенклатуры является функцией от объема выпуска .

При наличии нескольких критериев оптимальности каждый из них будет формализован своей частной целевой функцией , где – число критериев оптимальности. Для однозначного выбора оптимального решения исследователь может сформулировать новую целевую функцию

Однако целевая функция может уже не нести экономического смысла, в этом случае критерий оптимальности для нее отсутствует.

Система ограничений определяет пределы, сужающие область осуществимых, приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные внешние и внутренние свойства объекта. Ограничения определяют область протекания процесса, пределы изменения параметров и характеристик объекта.

Уравнения связи являются математической формализацией системы ограничений. Между понятиями «система ограничений» и «Уравнения связи» существует точно такая же аналогия, как между понятиями «критерий оптимальности» и «целевая функция»: различные по смыслу ограничения могут описываться одинаковыми уравнениями связи, а одно и то же ограничение в разных моделях записываться различными уравнениями связи.

Таким образом, именно критерий оптимальности и система ограничений в первую очередь определяют концепцию построения будущей математической модели, т.е. концептуальную модель, а их формализация, т.е. целевая функция и уравнения связи, представляют собой математическую модель.

Решением математической модели называется такой набор (совокупность) значений переменных, который удовлетворяет ее уравнениям связи. Решения, имеющие экономический смысл, называют структурно допустимыми. Модели, имеющие много решений, называются вариантными в отличие от безвариантных, имеющих одно решение. Среди структурно допустимых решений вариантной модели, как правило, находится одно решение, при котором целевая функция в зависимости от смысла модели имеет наибольшее или наименьшее значение. Такое решение, как и соответствующее значение целевой функции, называется оптимальным (в частности, наименьшим или наибольшим).

Использование ЭММ, особенно оптимальных, предполагает не только построение модели, соответствующей поставленной задаче, но и ее решение при помощи подходящего метода. В связи с этим иногда под моделированием (в узком смысле) понимается этап нахождения решения модели, т.е. вычисления значений исследуемых характеристик и определение оптимальности различных вариантов изучаемого объекта с целью выбора наилучшего варианта его построения и функционирования. Данный этап представляет собой реализацию и исследование ЭММ на определенном наборе вычислительных средств. Выбор метода решения оптимизационных ЭММ зависит от математической формы, связывающей факторы модели, наличия тех или иных признаков (учет динамики, учет стохастичности и т.д.). С точки зрения корректного выбора метода решения модели наиболее существенными признаками являются характер цели исследования, формализованность связей между параметрами и характеристиками, учет вероятностной природы объекта, а также фактора времени.

По характеру цели исследования ЭММ делятся на оптимизационные (нормативные) и описательные (дескриптивные или ЭММ прямого счета).

Характерной чертой оптимизационных моделей является наличие одной или нескольких целевых функций. При этом в первом случае оптимизационные ЭММ называются монокритериальными , а во втором – многокритериальными . В общем виде монокритериальная ЭММ может быть представлена следующей системой отношений:

,

Обращающий в max (или min ) целевую функцию Е при заданных уравнениях связи .

Специфика конкретных задач управления производством определила разнообразие типов оптимизационных ЭММ. Это вызвало для ряда наиболее часто повторяющихся типов ситуаций разработку «стандартных» экономико-математических методов их описания, например, распределительные задачи различных классов, задачи управления запасами, ремонта и замены оборудования, проектирования сетей и выбора маршрутов и т.д.

Существенным признаком описательных моделей является отсутствие в них критерия оптимальности. Решение, даваемое ЭММ прямого счета, обеспечивает либо вычисление набора выходных характеристик объекта для одного или нескольких вариантов начальных условий и входных характеристик объекта, либо нахождение какой-либо совокупности значений в структурно допустимой области решений. Примеры типовых задач управления машиностроительным производством, решаемых с помощью описательных моделей, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1. Примеры описательных моделей

Тип задачи	Вид модели	Математический метод решения
Задачи планирования без оптимизации (расчет объемов производства по видам продукции, увязка планов производства с ресурсами и т.п.)	Балансовые модели	Аппарат линейной алгебры, матричное исчисление
Задачи сетевого планирования и управление (СПУ) без оптимизации	Расчет по формулам модели СПУ	Аппарат теории графов
Задача учета и статистики (оперативный учет, получение различных форм отчетности и т.п.)	Расчет по формулам
Задачи контроля и анализа (анализ влияния и факторов, выявление тенденций, отслеживание отклонений и установление их причин)		Факторный анализ, дисперсионный анализ, регрессионный анализ
Задача создания нормативной базы	Статистические модели обработки реализаций случайных величин	“
Расчет параметров функционирования сложных систем с неформализованными связями.	Расчет по формулам имитационных моделей	“
Задачи прогнозирования	Модели регрессионного анализа, оценка параметров и проверка статистических гипотез	Факторный анализ, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, аппарат математической статистики

В зависимости от степени формализованности связей f и g i между факторами моделей в выражениях (1.4) и (1.5) различают аналитические и алгоритмические модели.

Аналитической формой записи называется запись математической модели в виде алгебраических уравнений или неравенств, не имеющих разветвлений вычислительного процесса при определении значений любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи. Если в математических моделях единственная целевая функция f и ограничения g j заданы аналитически, то подобные модели относятся к классу моделей математического программирования. Характер функциональных зависимостей, выраженных в функциях f и g j , может быть линейным и нелинейным. Соответственно этому ЭММ делятся на линейные и нелинейные , а среди последних в специальные классы выделяются дробно -линейные , кусочно-линейные , квадратичные и выпуклые модели.

Если мы имеем дело со сложной системой, то зачастую гораздо легче построить ее модель в виде алгоритма, показывающего отношения между элементами системы в процессе ее функционирования, задаваемые обычно в виде логических условий – разветвлений хода течения процесса. Математическое описание для элементов может быть очень простым, однако взаимодействие большого количества простых по математическому описанию элементов и делает эту систему сложной. Алгоритмически же можно описывать даже такие объекты, которые в силу их сложности или громоздкости в принципе не допускают аналитического описания. В связи с этим к алгоритмическим моделям относятся такие, в которых критерии и (или) ограничения описываются математическими конструкциями, включающими логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса. К алгоритмическим моделям относятся и так называемые имитационные модели – моделирующие алгоритмы, имитирующие поведение элементов изучаемого объекта и взаимодействие между ними в процессе функционирования.

В зависимости от того, содержит ли ЭММ случайные факторы, она может быть отнесена к классу стохастических или детерминированных .

В детерминированных моделях ни целевая функция f , ни уравнения связи g j не содержат случайных факторов. Следовательно, для данного множества входных значений модели на выходе может быть получен только один-единственный результат. Для стохастических ЭММ характерно наличие среди факторов модели, описываемой соотношениями (1.4) и (1.5), таких, которые имеют вероятностную природу и характеризуются какими-либо законами распределения, причем среди функций f и g j могут быть и случайные функции. Значения выходных характеристик в таких моделях могут быть предсказаны только в вероятностном смысле. Реализация стохастических ЭММ в большинстве случаев осуществляется на ЭВМ методами имитационного статистического моделирования.

Следующим признаком, по которому можно различать ЭММ, является связь с фактором времени. Модели, в которых входные факторы, а следовательно, и результаты моделирования явно зависят от времени, называются динамическими , а модели, в которых зависимость от времени t либо отсутствует совсем, либо проявляется слабо или неявно, называют статическими . Интересны в этом отношении имитационные модели: по механизму функционирования они являются динамическими (в модели идет имитация работы объекта в течении некоторого периода времени), а по результатам моделирования – статическими (например, ищется средняя производительность объекта за моделируемый период времени).

Статические модели представляют собой известную степень приближения к реальным объектам и системам, функционирующим во времени. Во многих случаях степень такого приближения, проявляющаяся в допущениях о неизменности или различного рода усреднениях факторов во времени (косвенно или приблизительно учитывающих фактор времени в определенных границах его изменения), является достаточной для практического применения статических моделей.

Первые две большие группы: материальные и информационные. Названия этих групп как бы показывают, из чего сделаны модели.

Материальные модели иначе можно назвать предметными, физическими. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение. Материальные модели определяют материальный, основанный на восприятии органами чувств подход к исследованию объекта (процесса, явления), то что можно увидеть, потрогать, услышать и т.п.

Примеры: Детские игрушки. Школьные пособия, физические и химические опыты, географические карты, схемы солнечной системы и звездного неба и многое другое.

3.1. Информационные модели нельзя потрогать или увидеть воочию, они не имеют материального воплощения, потому, что они строятся только на информации. В основе этого метода моделирования лежит информационный подход к изучению окружающей действительности. Информационные модели – совокупность информации, характеризующей свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Информация, характеризующая объект или процесс, может иметь разный объем и форму представления, выражаться различными средствами. Это многообразие настолько безгранично, насколько велики возможности каждого человека и его фантазии. В информационных моделях выделяют знаковые и вербальные модели.

3.2.1. Знаковая модель – информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Это рисунки, тексты, графики и схемы. По способу реализации знаковые модели можно разделить на компьютерные и некомпьютерные.

3.2.2. Вербальная (от лат «verbalis» – устный) модель – информационная модель в мысленной или разговорной форме. Это модели, полученные в результате раздумий, умозаключений. Они могут так и остаться мысленными или быть выражены словесно. Примером такой модели может стать наше поведение при переходе улицы. Человек анализирует ситуацию на дороге (что показывает светофор, с какой скоростью и на каком расстоянии движутся автомобили и т. п.) и вырабатывает свою модель поведения. Если ситуация смоделирована удачно, то переход будет безопасным, если нет, то может произойти авария. К таким моделям можно отнести идею, возникшую в голове изобретателя, музыкальную тему, промелькнувшую в голове композитора, рифму, прозвучавшую пока в голове поэта. Знаковые и вербальные модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в мозгу человека, может быть облечен в зна-

Классификация моделей

Рисунок 4.2 Классификация моделей

ковую форму. И, наоборот, знаковая модель – помогает сформировать в сознании верный мысленный образ.

В научной среде выделяются и другие подходы к классификации моделей. Например, классификация моделей может быть проведена по следующим признакам:

По целевому назначению (1);

По характеру выполняемых функций (2);

По форме (3).

Рассмотрим эти классификации более подробно ниже.

1. Целевое назначение моделей .

Человек в практической деятельности обычно решает две задачи – экспертную и конструктивную . В экспертной задаче на основании имеющейся информации описывается прошлое, настоящее и предсказывается будущее. Суть конструктивной задачи заключается в том, чтобы создать нечто с заданными свойствами.Для решения экспертных задач применяют так называемые описательные модели, а для конструктивных – нормативные .

Описательные модели (дескриптивные, познавательные ) предназначены для описания свойств или поведения реальных существующих объектов. Они являются формой представления знаний о действительности.

Пример: План города, отчет о деятельности фирмы, характеристика.

Можно выделить цели описательного моделирования в зависимости от решаемых задач:

Изучение объекта (научные исследования) – наиболее полно и точно отразить свойства объекта;

управление – наиболее точно отразить свойства объекта в рабочем диапазоне изменения его параметров;

прогнозирование – построить модель, способную наиболее точно прогнозировать поведение объекта в будущем;

обучение – отразить в модели изучаемые свойства объекта.

Построение описательной модели происходит по схеме: наблюдение за объектом, кодирование наблюдений с помощью слов, символов, графических образов и фиксации закодированных результатов в виде модели.

Рисунок 4.3 Последовательность построения описательной модели

Нормативные модели (прескриптивные, прагматические ) предназначены для указания целей деятельности и определенного порядка (алгоритма) действий для их достижения. Они решают задачи приближения реальности к модели , поскольку модель играет роль стандарта или образца, под который подгоняется сама действительность, ее результаты.

Примеры: Законы, уставы организаций, планы застройки, бизнес-планы, программы действий, управленческие решения, проекты зданий, машин и т.д.

2. Функции моделей. Можно выделить следующие функции, выполняемые моделями:

исследовательская – применяется в научном познании;

практическая – применяется в практической деятельности (проектировании, управлении и т.д.);

тренинговая – используется для тренировки практических умений и навыков специалистов в различных областях;

обучающая – для формирования у обучаемых знаний, умений и навыков.

3. Форма представления моделей . Модели по форме бывают:

физические – материальные объекты, имеющие сходство с оригиналом (модель самолета, которая исследуется в аэродинамической трубе; модель плотины);

словесные (вербальные) – словесное описание чего-либо (структура предприятия, принцип работы устройства, внешность человека);

графические – описание в виде графических изображений (схемы, карты, графики, диаграммы);

знаковые – описание в виде символов и знаков (дорожные знаки, условные обозначения на схемах, математические соотношения. Разновидностью знаковых моделей являются математические модели (или математическое описание ).

Еще один подход к классификации - по процессу моделирования – видам моделирования.Применительно к социально-экономическим системам можно предложить такую классификацию видов моделирования:

· концептуальное моделирование , при котором с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языков истолковывается основная мысль (концепция) относительно исследуемого объекта;

· интуитивное моделирование, которое сводится к мысленному эксперименту на основе практического опыта работников (широко применяется в экономике);

· физическое моделирование, при котором модель и моделируемый объект представляют собой реальные объекты или процессы единой или различной физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений;

· структурно-функциональное моделирование, при котором моделями являются схемы (блок-схемы), графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами их объединения и преобразования;

· математическое (логико-математическое) моделирование , при котором моделирование, включая построение модели, осуществляется средствами математики и логики;

имитационное (программное) моделирование , при котором логико-математическая модель исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализуемый в виде программного комплекса для компьютера. Имитационное моделирование – моделирование, при котором процесс, явление, объект, строится или описывается так, как они бы проходили в реальности. Модель может быть проиграна (метод «Деловых игр», «Суда» и т.п.) или описана логико-математической моделью в виде программного комплекса для компьютера (компьютерное моделирование) или в виде экономико–математических моделей (описание экономических и социальных систем и процессов). Следует добавить несколько слов о компьютерном моделировании , являющемся развитием имитационного моделирования. Компьютер может быть полезен при всех видах моделирования (за исключением физического моделирования, где компьютер тоже может использоваться, но, скорее, для целей управления процессом моделирования). Предметом компьютерного моделирования могут быть: экономическая деятельность фирмы или банка, промышленное предприятие, информационно-вычислительная сеть, технологический процесс, любой реальный объект или процесс, например процесс инфляции. Цели компьютерного моделирования могут быть различными, однако наиболее часто моделирование является центральной процедурой системного анализа.

Каждый из подходов к классификации моделей имеет свои достоинства и недостатки, характеристики и полноту охвата. Единый взгляд на этот вопрос, по всей видимости, еще впереди.