Древовидная модель оказывается довольно эффективной для представления динамических данных с целью быстрого поиска информации .

Деревья являются одними из наиболее широко распространенных структур данных в информатике и программировании, которые представляют собой иерархические структуры в виде набора связанных узлов.

– это структура данных , представляющая собой совокупность элементов и отношений, образующих иерархическую структуру этих элементов ( рис. 31.1). Каждый элемент дерева называется вершиной (узлом) дерева . Вершины дерева соединены направленными дугами, которые называют ветвями дерева . Начальный узел дерева называют корнем дерева , ему соответствует нулевой уровень. Листьями дерева называют вершины, в которые входит одна ветвь и не выходит ни одной ветви.

Каждое дерево обладает следующими свойствами:

1. существует узел, в который не входит ни одной дуги (корень);
2. в каждую вершину, кроме корня, входит одна дуга.

Деревья особенно часто используют на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья.

Рис. 31.1.

Все вершины, в которые входят ветви, исходящие из одной общей вершины, называются потомками , а сама вершина – предком . Для каждого предка может быть выделено несколько. Уровень потомка на единицу превосходит уровень его предка. Корень дерева не имеет предка, а листья дерева не имеют потомков.

Высота (глубина) дерева определяется количеством уровней, на которых располагаются его вершины. Высота пустого дерева равна нулю, высота дерева из одного корня – единице. На первом уровне дерева может быть только одна вершина – корень дерева , на втором – потомки корня дерева, на третьем – потомки потомков корня дерева и т.д.

Поддерево – часть древообразной структуры данных, которая может быть представлена в виде отдельного дерева.

Степенью вершины в дереве называется количество дуг, которое из нее выходит. Степень дерева равна максимальной степени вершины, входящей в дерево . При этом листьями в дереве являются вершины, имеющие степень нуль. По величине степени дерева различают два типа деревьев:

• двоичные – степень дерева не более двух;
• сильноветвящиеся – степень дерева произвольная.

Упорядоченное дерево – это дерево , у которого ветви, исходящие из каждой вершины, упорядочены по определенному критерию.

Деревья являются рекурсивными структурами, так как каждое поддерево также является деревом. Таким образом, дерево можно определить как рекурсивную структуру, в которой каждый элемент является:

• либо пустой структурой;
• либо элементом, с которым связано конечное число поддеревьев.

Действия с рекурсивными структурами удобнее всего описываются с помощью рекурсивных алгоритмов.

Списочное представление деревьев основано на элементах, соответствующих вершинам дерева. Каждый элемент имеет поле данных и два поля указателей: указатель на начало списка потомков вершины и указатель на следующий элемент в списке потомков текущего уровня. При таком способе представления дерева обязательно следует сохранять указатель на вершину, являющуюся корнем дерева .

Для того, чтобы выполнить определенную операцию над всеми вершинами дерева необходимо все его вершины просмотреть. Такая задача называется обходом дерева .

Обход дерева – это упорядоченная последовательность вершин дерева, в которой каждая вершина встречается только один раз.

При обходе все вершины дерева должны посещаться в определенном порядке. Существует несколько способов обхода всех вершин дерева. Выделим три наиболее часто используемых способа обхода дерева ( рис. 31.2):

• прямой;
• симметричный;
• обратный.

Рис. 31.2.

Существует большое многообразие древовидных структур данных. Выделим самые распространенные из них: бинарные (двоичные) деревья, красно-черные деревья, В-деревья, АВЛ-деревья , матричные деревья, смешанные деревья и т.д.

Бинарные деревья

Бинарные деревья являются деревьями со степенью не более двух.

Бинарное (двоичное) дерево – это динамическая структура данных , представляющее собой дерево , в котором каждая вершина имеет не более двух потомков ( рис. 31.3). Таким образом, бинарное дерево состоит из элементов, каждый из которых содержит информационное поле и не более двух ссылок на различные бинарные поддеревья. На каждый элемент дерева имеется ровно одна ссылка .

Рис. 31.3.

Каждая вершина бинарного дерева является структурой, состоящей из четырех видов полей. Содержимым этих полей будут соответственно:

• информационное поле (ключ вершины);
• служебное поле (их может быть несколько или ни одного);
• указатель на левое поддерево ;
• указатель на правое поддерево .

По степени вершин бинарные деревья делятся на ( рис. 31.4):

Рис. 31.4.

• строгие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев) или два (у узлов);
• нестрогие – вершины дерева имеют степень ноль (у листьев), один или два (у узлов).

Абстрактное бинарное дерево

Лекция Деревья

Деревья (trees) используются для представления отношения. Все деревья являются иерархическими по своей сути. Интуитивное значение этого термина состоит в том, что между узлами дерева существует отношение "родительский-дочерний". Если ребро со­единяет узел n и узел т, причем узел п находится выше узла т, то узел n счи­тается родителем (parent) узла т, а узел т - его дочерним узлом (child) . В де­реве, изображенном на рис. 10.1, узлы В и С являются дочерними по отношению к узлу А. Дочерние узлы, имеющие одного и того же родителя, - например, уз­лы В и С - называются братьями (siblings) . Каждый узел дерева имеет по крайней мере одного родителя, причем в дереве существует только один узел, не имеющий предков. Такой узел называется корнем дерева (root) . На рис. 10.1 корнем является узел А. Узел, у которого нет дочерних узлов, называется лис­том дерева (leaf). Листьями дерева, изображенного на рис. 10.1, являются узлы С, D, Е и F.

Рис. 10.1. Дерево общего в

Отношения между родительским и дочерним узлом с абстрактной точки зре­ния является отношением между предком (ancestor) и потомком (descendant). На рис. 10.1 узел А является предком узла Д следовательно, узел D является по­томком узла А. Не все узлы могут быть связаны отношениями "предок-потомок": узлы В и С, например, не связаны родственными отношениями. Однако корень любого дерева является предком каждого его узла. Поддеревом (subtree) называется любой узел дерева со всеми его потомками. Поддеревом узла п является поддерево, корнем которого является узел n. Например, на рис. 10.2 показано поддерево дерева, изображенного на рис. 10.1. Корнем этого поддерева является узел В, а само поддерево является поддеревом узла А.

С формальной точки зрения, дерево общего вида (general tree) T представляет собой множество, состоящее из одного или нескольких узлов, принадлежащих непересекающимся подмножествам, указанным ниже.

Отдельный узел r, корень.

Множество поддеревьев корня r.

Бинарное дерево (binary tree) - это множество узлов Т, таких что

Множество Т пусто, или

Множество Т распадается на три непересекающихся подмножества:

Отдельный корень r, корень;

Два возможно пустых поддерева бинарного дерева, которые называются левым и правым поддеревьями (leaf and right subtrees) корня r, соответственно.

В качестве иллюстрации использования бинарных деревьев для представле­ния данных в иерархическом виде рассмотрим рис. 10.4. На этом рисунке би­нарные деревья представляют алгебраические выражения, содержащие бинарные операторы +, -, * и /. Для представления выражения а-b оператор помещается в корневой узел, а операнды а и b- в его левый и правый дочерние узлы, соответственно (рис. 10.4). На рис. 10.4, б представлено выражение a-b/с, где поддерево представляет подвыражение b/с. Аналогичная ситуация показана на рис. 10.4, в, где изображено выражение (а-b)*с. В узлах этих деревьев хранятся операнды выражений, а в остальных узлах - операторы. Скобки в этих деревьях не представлены. Бинарное дерево создает иерархию операций, т.е. дерево однозначно определяет порядок вычисления выражения.

Рис. 10.4. Бинарные деревья, представляющие алгебраические выражения

Бинарное дерево поиска - это бинарное дерево, некоторым образом упорядоченное в соответ­ствии со значениями, содержащимися в его узлах. Каждый узел п бинарного де­рева поиска обладает следующими тремя свойствами:

Значение узла п больше всех значений, содержащихся в левом поддереве TL.

Значение узла п меньше всех значений, содержащихся в правом поддереве ТR.

Деревья TL и ТR являются деревьями бинарного поиска.

На рис. 10.5 показан пример бинарного дерева поиска. Как следует из его назва­ния, это дерево обеспечивает возможности поиска конкретного элемента. Позд­нее мы рассмотрим эту структуру данных более подробно.

Высота деревьев. Деревья могут иметь разную форму. Например, хотя деревья, изображенные на рис. 10.6, состоят из одинаковых узлов, они имеют совершенно разную структуру. Каждое из этих деревьев содержит семь узлов, но некоторые деревья "выше" других. Высота (height) дерева - это количество узлов, располо­женных на самом длинном пути от корня к листу. Например, высота деревьев, по­казанных на рис. 10.6, равна 3, 5 и 7, соответственно. Интуитивное представление о высоте деревьев может привести к заключению, что их высота равна 2, 4 и 6, соответственно. Действительно, многие авторы используют именно интуитивное оп­ределение высоты дерева (подсчитывая количество ребер на самом длинном пути от корня до дерева. - Прим. ред.). Однако принятое нами определение позволяет более четко формулировать многие алгоритмы и свойства деревьев.

Полное, совершенное и сбалансированное дерево. В полном бинарном дереве(full binary tree), имеющем высоту h, все узлы, расположенные на уровнях, меньших уровня h, имеют по два дочерних узла. На рис. 10.7 представлено пол­ное бинарное дерево, имеющее высоту, равную 3. Каждый узел полного бинарно­го дерева имеет левое и правое поддерево, имеющие одинаковую высоту . Среди всех бинарных деревьев, высота которых равна h, полное бинарное дерево имеет максимально возможное количество листьев, и все они расположены на уровне h. Проще говоря, в полном бинарном дереве нет пропущенных узлов.

Доказывая свойства полных бинарных деревьев, подсчитывая количество их узлов, удобно пользоваться рекурсивным определением.

Если дерево Т пусто, то оно является полным бинарным деревом, имеющим

высоту, равную 0.

Если дерево T не пусто, и его высота равна h > 0, то дерево T является полным бинарным деревом, если поддеревья его корня являются полными бинарными деревьями, имеющими высоту h-1.

Это определение хорошо отражает рекурсивную природу бинарного дерева.

Совершенное бинарное дерево (complete binary tree), имеющее высоту h, - это бинарное дерево, которое является полным вплоть до уровня h-1, а уровень h заполнен слева направо так, как показано на рис. 10.8.

Рис. 10.8. Совершенное бинарное дерево

Очевидно, что полное бинарное дерево является совершенным.

Бинарное дерево называется сбалансированным по высоте (height balanced), или просто сбалансированным (balanced), если высота правого поддерева любого его узла отличается от высоты левого поддерева не больше, чем на 1. Бинарные деревья, изображенные на рис. 10.8 и 10.6, а, яв­ляются сбалансированными, а деревья, представленные на рис. 10.6, б и 10.6, в - нет. Совершенное бинарное дерево является сбалансированным. Итак, повторим кратко введенные понятия.

Абстрактное бинарное дерево

B бинарном дереве существует несколько способов обхода. Стандартными являются три порядка обхода дерева: прямой, симметричный и обратный. Все они описываются в следующем разделе. Над абстрактным бинарным деревом выполняются следующие операции.

Помимо Android мы с вами наверняка знаем о существовании iOS и Windows Phone. Еще где-то далеко существует BlackBerry OS, и в прошлом осталась Symbian. Это то, что на слуху, однако есть несколько операционных систем, которые известны гораздо меньше, но при этом достойны внимания. Как и Android, они построены на ядре Linux и имеют открытый исходный код. Однако это не помогло им добиться таких же успехов.

Ubuntu Phone

Canonical разработала под действием желания стандартизировать все вокруг. Подобно Windows, который автоматически подстраивается под ваш компьютер после установки, Ubuntu готова подстроиться под любые устройства, будь то смартфон, планшет, телевизор или компьютер. В зависимости от типа устройства ОС сама подстроится под размер экрана и тип ввода данных.

Пользователи Ubuntu Phone могут просто подключить смартфон к компьютеру и использовать на экране компьютера настольную версию Ubuntu. В этом идеология немного совпадает с Microsoft, которая хочет стереть грани между мобильной и настольной ОС, а также приложениями для них.

HP webOS

Изначально webOS принадлежала компании Palm, но HP купила Palm в 2010 году. У HP были большие планы на webOS, планировалось выпустить смартфон, планшет, принтер и даже компьютер под управлением этой ОС. Был запущен планшет HP TouchPad, но он не смог конкурировать с iPad, и идея не пошла дальше.

Позднее компания LG использовала возможности webOS в своем умном телевизоре, и это оказалось неплохой идеей. webOS, несмотря на свою непопулярность, обладает некоторыми интересными особенностями, которые еще можно продать.

Samsung Tizen

Tizen построен на ядре Linux, а интерфейс этой ОС полностью копирует TouchWiz от Samsung. Другими словами, в этой системе нет ничего незнакомого и в то же время . Сегодня на этой ОС работают некоторые умные часы компании Samsung, однако больших планов компания на нее не имеет. У них проблема с привлечением разработчиков, а без приложений Tizen никому не нужна.

Jolla Sailfish

У этой ОС длинная и интересная история. Как-то в Nokia работали над Maemo-устройствами, построенными на Linux. Позднее Maemo стала частью платформы MeeGo OS, которая принадлежала Intel. Единственным смартфоном, выпущенным на MeeGo, стал Nokia N9, и он пользовался популярностью среди разработчиков. Однако перед сделкой с Microsoft проект MeeGo был закрыт, и компания сконцентрировалась на Windows Phone.

Большая часть команды, работавшей над MeeGo, ушла из компании и открыла собственную, под названием Jolla. Все права на MeeGo остались у Nokia, и они были вынуждены создать собственную на основе исходных кодов MeeGo. Эта ОС может работать как с Qt-приложениями, так и с приложениями для Android.

Amazon Fire

В планшетах Amazon Kindle используется то, что Amazon называет Fire OS. На самом деле это Android, версия AOSP, над которой серьезно поработали в Amazon. Узнать в Fire OS Android просто невозможно. При этом она работает с Android-приложениями, вот только загружать их надо не из Google Play. Amazon не использует сервисы Google, продавая контент через собственный магазин, и он достаточно крупный.

Firefox OS

Mozilla давно пытается создать свое решение для смартфонов. То, что они имеют , построено на Gecko и браузере Firefox. Все приложения для Firefox OS поддерживают современные веб-технологии, такие как HTML 5. В Mozilla считают, что эпоха нативных приложений уйдет, и будущее за веб-приложениями. Так же считал Стив Джобс, запуская iPhone.

Nokia X

Над этой платформой трудятся в Microsoft. Она представляет из себя смесь Android и Windows Phone, но построена она все же на Android. Смартфоны на этой платформе не встретили большой любви пользователей из-за отсутствия сервисов от Google, но продаются, из-за невысокой стоимости.

По материалам EFYTimes