Последовательность

После́довательность

сущ. , ж. , употр. сравн. часто

Морфология: (нет) чего? после́довательности , чему? после́довательности , (вижу) что? после́довательность , чем? после́довательностью , о чём? о после́довательности ; мн. что? после́довательности , (нет) чего? после́довательностей , чему? после́довательностям , (вижу) что? после́довательности , чем? после́довательностями , о чём? о после́довательностях

1. Последовательностью называют ряд, в котором один элемент располагается следом за другим.

Непрерывная последовательность. | Хронологическая последовательность. | Вспомнить последовательность событий. | Последовательность в рассуждениях. | Последовательность в поступках.

2. В математике, информатике последовательностью называют ряд чисел, информационных элементов определённого типа.

Бесконечная числовая последовательность. | Предел последовательности. | Структура - это объект, состоящий из последовательности именованных членов, каждый член может быть произвольного типа.


Толковый словарь русского языка Дмитриева . Д. В. Дмитриев. 2003 .


Синонимы :

Смотреть что такое "последовательность" в других словарях:

    Последовательность это набор элементов некоторого множества: для каждого натурального числа можно указать элемент данного множества; это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности; для любого… … Википедия

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. У И. В. Киреевского в статье «Девятнадцатый век» (1830) читаем: «От самого падения Римской империи до наших времен просвещение Европы представляется нам в постепенном развитии и в беспрерывной последовательности» (т. 1, с.… … История слов

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, последовательности, мн. нет, жен. (книжн.). отвлеч. сущ. к последовательный. Последовательность каких нибудь явлений. Последовательность в смене приливов и отливов. Последовательность в рассуждениях. Толковый словарь Ушакова.… … Толковый словарь Ушакова

    Постоянство, преемственность, логичность; ряд, прогрессия, вывод, серия, вереница, череда, цепь, цепочка, каскад, эстафета; упорство, обоснованность, набор, методичность, расстановка, стройность, упорность, подпоследовательность, связь, очередь,… … Словарь синонимов

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, числа или элементы, расположенные в организованном порядке. Последовательности могут быть конечными (имеющие ограниченное число элементов) или бесконечными, как полная последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Научно-технический энциклопедический словарь

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2,..., xn,... или коротко {xi} … Современная энциклопедия

    Одно из основных понятий математики. Последовательность образуется элементами любой природы, занумерованными натуральными числами 1, 2, ..., n, ..., и записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xn} … Большой Энциклопедический словарь

    Последовательность - ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, совокупность чисел (математических выражений и т.п.; говорят: элементов любой природы), занумерованных натуральными числами. Последовательность записывается в виде x1, x2, ..., xn, ... или коротко {xi}. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

    ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. последовательный. 2. В математике: бесконечный упорядоченный набор чисел. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

    Англ. succession/sequence; нем. Konsequenz. 1. Порядок следования одного за другим. 2. Одно из основных понятий математики. 3. Качество правильного логического мышления, при к ром рассуждение свободно от внутренних противоречий по одному и тому… … Энциклопедия социологии

    Последовательность - «функция, определенная на множестве натуральных чисел, множество значений которой может состоять из элементов любой природы: чисел, точек, функций, векторов, множеств, случайных величин и др., занумерованных натуральными числами … Экономико-математический словарь

Книги

  • Выстраиваем последовательность. Котята. 2-3 года , . Игра "Котята" . Выстраиваем последовательность. 1 уровень. Серия" Дошкольное образование" . Весёлые котята решили позагорать на пляже! Но никак не могут поделить места. Помоги им…

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n ,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом a n , следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

a 1 , a 2 , a 3 , , a n –1 , a n , ,

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью . Величина a n называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой a n = f (n ) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n ; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : N R .

Последовательность
называетсявозрастающей (убывающей ), если для любого n N
Такие последовательности называютсястрого монотонными .

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n 0). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n .

Если в некоторой последовательности для любого n N
то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей ). Такие последовательности называются монотонными .

Пример 1 . Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член a n = n .

Пример 2 . Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член a n = 2n .

Пример 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4 . Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену
. Для вычисленияa 1 нужно в формулу для общего члена a n вместо n подставить 1, для вычисления a 2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6 . Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

1)

2)

3)

4)

Тест 7 .
является:

1)

2)

3)

4)

Тест 8 . Общим членом последовательности
является:

1)

2)

3)

4)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности
:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n 0 = n 0 (), зависящее от , что
приn > n 0 .

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n 0 , что, начиная с n > n 0 , все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5 . Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N 0 можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n 0 >имеем

Пример 6 . Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число М , что
для всехn . Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7 . Последовательность
является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел
=е .

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9 . Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

Тест 10 . Последовательность
является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11 . Последовательность не является:

1) сходящейся;

2) расходящейся;

3) ограниченной;

4) гармонической.

Тест 12 . Предел последовательности, заданной общим членом
равен.

Последовательность как качество личности – склонность неотступно следовать чему-либо, неуклонно проводить в жизнь что-либо, осуществлять действия, которые непрерывно следуют одно за другим.

Один знатный купец, прослышав об удивительных способностях набожного старца, пришел к нему в пещеру с просьбой: «О, достопочтенный праведник! Напиши для моей семьи какое-нибудь доброе пожелание. Я очень люблю своих детей и внуков. И я хочу, чтобы они были счастливы. Дай нам свой завет». Благочестивый старец взял бумагу, перо — и купец тут же получил то, о чем спрашивал. Пожелание было очень кратким: «Умер дед, умер сын, умер внук». — Что ты такое здесь написал, сумасшедший?! – замахал руками разгневанный купец. – Разве я пришел к тебе за проклятиями? — Ты ничего не понял, — ответил праведник. – Все мы когда-нибудь вернемся к Отцу Небесному. Но проклятием было бы, если б я написал: «Умер внук, умер сын, умер дед». А эта последовательность правильная. Если вы уйдете в таком порядке, это будет счастьем.

Последовательный человек – герой нашего времени, в котором как никогда высоко ценятся практически-аналитический склад ума, здоровый прагматизм и реализм. Работодатели, представляющие крупные организации с амбициозными целями и задачами, отдают предпочтение людям, у которых последовательность стала ярко выраженным качеством личности. В претендентах их прельщает надежность, предсказуемость, рассудительность, решительность и убежденность в своих взглядах. Любому руководителю будет по душе уверенный в себе человек, который выверенными, отточенными и непоколебимыми действиями последовательно кратчайшим путем выполняет поставленную перед ним задачу.

Последовательность – родная сестра целеустремленности – способности решительно, упорно и настойчиво стремиться к реализации своей цели. Последовательный человек не уронит цель, он знает свой путь и никуда с него не свернет. Путь к высокой цели может быть извилист и долог. Стороннему наблюдателю могут показаться абсурдными какие-то отдельные действия последовательности. А «ларчик просто открывается» — она четко видит конечный результат своих действий. Отдельные действия складываются в логическую цепочку, приводящую последовательность к задуманной цели.

Последовательность – любимица цели, ей внутренне присущи постоянство и сосредоточенность на каком-то виде работ, без которых невозможно достичь сколько-нибудь достойной цели. Последовательный человек непрерывно, не отвлекаясь от поставленной задачи, выполняет до конца одно дело и только затем переходит к другому. Он точно и правильно распределяет время по этапам и периодам, при этом постоянно обдумывая, где и как можно сэкономить время.

Зачастую люди заигрывают с последовательностью и, не будучи ее настоящим обладателем, тут же получают от жизни поучительный урок за ее иллюзию. Необдуманно и скоропалительно приняв какое-то решение вчера, они уже утром не находят себе места – быть непоследовательным стыдно и неавторитетно. Поэтому вчерашнее решение, каким бы глупым оно ни было, приходится неохотно выполнять, чтобы не «уронить честь мундира». Но, вдруг, выясняется его противоречивость и вредность для дела. Включать упрямство? Себе еще больше навредить. Пойти на попятную? Будут говорить, что у него семь пятниц на неделе. И начинается шараханье в мыслях, действиях и поступках. Человека лихорадит страх перед наказанием, но и перед начальством невыгодно обнажать фрагментарность своей натуры. В итоге лжепретенденту на последовательность дорого обходится иллюзия своей личностной целостности.

Последовательность всегда высоко котировалась общественным мнением, считалась одним из атрибутов справедливости, поэтому люди унаследовали от своих далеких предков стремление выглядеть последовательными в своих словах и делах. Она всегда ассоциировалась с интеллектуальностью, силой, логикой, рациональностью, стабильностью и честностью. Как сказал великий английский физик Майкл Фарадей, последовательность порой одобряется в большей степени, чем правота. Когда Фарадея как-то после лекции спросили, не считает ли он, что ненавидимый им ученый соперник всегда неправ, Фарадей сердито посмотрел на спрашивающего и ответил: «Он не до такой степени последователен». Непоследовательный человек – невыгодный социальный статус как символ легкомыслия, непостоянства и ненадежности. С ним никто не хочет иметь дела. Вполне понятно, почему люди опасаются прослыть непоследовательными – это прямая угроза оказаться на общественных задворках.

Страх быть непоследовательным – удивительно интересный и привлекательный объект манипуляцией людьми. Последовательность, как большое человеческое достоинство, как прекрасное качество личности, становится крючком, за который манипуляторы цепляют люди ради достижения своих корыстных целей. Дело в том, что атрибутом последовательности является автоматизм, определенная машинальность в выполнении своих действий. В целом автоматизм рационален и полезен, позволяя человеку не задумываться каждый раз над каждым своим действием и, тем самым, экономить массу времени.

Роберт Б. Чалдини заметил: «Поскольку нам обычно полезно быть последовательными, мы поддаемся искушению быть таковыми автоматически, даже в ситуациях, когда это неблагоразумно. Если последовательность проявляется бездумно, она может быть гибельной… Автоматическое стремление к последовательности является своего рода щитом, выставляемым мышлением. Неудивительно, что этот механизм интенсивно используется теми, кто предпочитает, чтобы мы реагировали на их требования не задумываясь. Для подобного рода эксплуататоров наше автоматическое стремление к последовательности является золотой жилой. Они умеют так ловко заставить нас проигрывать свои «магнитофонные записи последовательности», когда им это выгодно, что мы даже не осознаем, что нас поймали. В великолепно отточенном стиле джиу-джитсу такие люди выстраивают взаимоотношения с нами таким образом, что наше собственное желание быть последовательным приносит им прямую выгоду».

Рассмотрим прием манипуляторов «Начинай с малого». Однажды сказав «Да», подтвердив свое согласие, в дальнейшем человек становится более уступчивым и сговорчивым. Уступив в мелочах, следующую просьбу, если она будет логическим продолжением первой просьбы, человек выполняет, отталкиваясь только от принципа последовательности. «Мы уезжаем в отпуск,- говорит сосед, — у нас к Вам огромная просьба – поливать цветы в квартире. Вот ключи». Вы даете согласие и чувствуете себя бескорыстным человеком, чуть ли не альтруистом. Спустя полгода он опять обращается к Вам: «Мы улетаем с женой на две недели в Тайланд. Опять к Вам огромная просьба – поливать цветы и поухаживать за нашим песиком. Его надо утром и вечером выгуливать, а корм мы Вам оставляем». Вам уже неудобно быть непоследовательным, можно, конечно, отказаться, но Вы уже понимаете, как неприятно потом будет на душе, ведь Вы – альтруист, надо соответствовать высокому значению этого слова.

К приемам манипуляции на стремлении людей быть последовательными можно также отнести письменное согласие. Большинство людей, подписываясь под каким-либо заявлением или анкетой, в дальнейшем автоматически начинают защищать то, что там было прописано, даже если подпись ставилась на «автопилоте», машинально или под влиянием обстоятельств.

«Хорошо» себя зарекомендовал прием «публичное заявление о хорошем положении дел». Когда с людей хотят выудить деньги на благотворительность, начинают издалека: например с вопросов о финансовом состоянии фирмы или самого человека. «Как ваша фирма чувствует себя на рынке? Считаете ли вы себя преуспевающим и активным человеком?». Когда люди расслабляются, идет атака: «Согласитесь ли вы помочь нуждающимся?» Людям, заявившим о хорошем состоянии дел, уже тяжело быть непоследовательными. Манипуляторы довольно потирают руки и радуются, что люди наделены таким качеством личности как «кормилица ты наша, Последовательность!»

Петр Ковалев

Для многих людей математический анализ представляет собой лишь набор непонятных цифр, значков и определений, далёких от реальной жизни. Однако, мир, в котором существуем мы, построен на числовых закономерностях, выявление которых помогает не просто познавать окружающий мир и решать его сложные проблемы, но и упрощать бытовые практические задачи. Что имеет в виду математик, когда говорит, что числовая последовательность сходится? Об этом следует поговорить подробнее.

малое?

Представим себе матрёшек, которые помещаются одна в другой. Размеры их, записанные в виде цифр, начиная с большей и кончая меньшей из них, формируют последовательность. Если вообразить бесконечное количество подобных ярких фигурок, то получившийся ряд окажется фантастически длинным. Это сходящаяся числовая последовательность. И стремится она к нулю, так как размеры каждой последующей матрёшки, катастрофически уменьшаясь, постепенно превращаются в ничто. Таким образом, легко можно объяснить: что такое бесконечно малое.

Похожим примером может стать дорога, уходящая вдаль. А визуальные размеры автомобиля, уезжающего по ней от наблюдателя, постепенно сокращаясь, превращаются в бесформенное пятнышко, напоминающее точку. Таким образом, машина, как некий объект, удаляясь в неизвестном направлении, становится бесконечно маленькой. Параметры указанного тела никогда не будут нулевыми в прямом смысле этого слова, но неизменно стремятся к этой величине в конечном пределе. Поэтому данная последовательность сходится снова к нулю.

Рассчитаем всё по каплям

Вообразим теперь житейскую ситуацию. Больному врач прописал принимать микстуру, начиная с десяти капель в день и прибавляя по две в каждые последующие сутки. И так доктор предложил продолжать до тех пор, пока не кончится содержимое пузырька с лекарством, объём которого составляет 190 капель. Из изложенного следует, что количество таковых, расписанное по дням составит следующий числовой ряд: 10, 12, 14 и так далее.

Как выяснить время прохождения всего курса и количество членов последовательности? Здесь, конечно, можно подсчитывать капли примитивным образом. Но гораздо легче, учитывая закономерность, воспользоваться формулой с шагом d = 2. И с применением такого метода выяснить, что количество членов числового ряда равно 10. При этом а 10 = 28. Номер члена указывает на количество дней приёма лекарства, а 28 соответствует числу капель, которые больной должен употребить в последний день. Данная последовательность сходится? Нет, потому что, несмотря на то, что снизу она ограничена числом 10, а сверху - 28, такой числовой ряд не имеет предела, в отличие от предыдущих примеров.

В чём разница?

Попробуем теперь уточнить: когда числовой ряд оказывается сходящейся последовательностью. Определение такого рода, как можно заключить из вышеописанного, напрямую связано с понятием конечного предела, наличие которого и выявляет суть вопроса. Так в чём принципиальное отличие ранее приведённых примеров? И почему в последнем из них число 28 не может считаться пределом числового ряда X n = 10 + 2(n-1)?

Для выяснения этого вопроса рассмотрим другую последовательность, заданную нижеуказанной формулой, где n принадлежит множеству натуральных чисел.

Данное сообщество членов представляет собой набор обыкновенных дробей, числитель которых 1, а знаменатель постоянно увеличивается: 1, ½ …

Причём каждый последующий представитель этого ряда по расположению на числовой прямой всё больше приближается к 0. А это значит, что появляется такая окрестность, где точки скучиваются вокруг нуля, который и является пределом. И чем ближе они к нему, тем плотнее становится их концентрация на числовой прямой. А расстояние между ними катастрофически сокращается, превращаясь в бесконечно малое. Это признак того, что последовательность сходится.

Подобным же образом разноцветные прямоугольники, изображённые на рисунке, при удалении в пространстве визуально располагаются кучнее, в гипотетическом пределе превращаясь в ничтожно малые.

Бесконечно большие последовательности

Разобрав определение сходящейся последовательности, перейдём теперь к противоположным примерам. Многие из них были известны человеку с самых древних времён. Простейшими вариантами расходящихся последовательностей являются ряды натуральных и чётных чисел. Они по-другому именуются бесконечно большими, так как члены их, постоянно увеличиваясь, всё больше приближаются к положительной бесконечности.

Примерами таковых также могут служить любая из арифметических и геометрических прогрессий с шагом и знаменателем соответственно больше нуля. Расходящимися последовательностями считаются, к тому же, числовые ряды, которые и вовсе не имеют предела. К примеру, X n = (-2) n -1 .

Последовательность Фибоначчи

Практическая польза указанных ранее числовых рядов для человечества несомненна. Но существует огромное множество и других замечательных примеров. Одним из них является последовательность Фибоначчи. Каждый из её членов, которые начинаются с единицы, представляет собой сумму предыдущих. Первыми двумя её представителями являются 1 и 1. Третий 1+1=2, четвёртый 1+2=3, пятый 2+3=5. Далее, согласно этой же логике, следуют числа 8, 13, 21 и так далее.

Данный ряд чисел неограниченно возрастает и не имеет конечного предела. Зато он обладает ещё одним замечательным свойством. Отношение каждого предыдущего числа к последующему всё более приближается по своему значению к 0, 618. Здесь можно уяснить разницу между сходящейся и расходящейся последовательностью, ведь если составить ряд из полученных частных от делений, указанный числовой строй будет иметь конечный предел равный 0,618.

Последовательность коэффициентов Фибоначчи

Указанный выше числовой ряд широко используется в практических целях для технического анализа рынков. Но этим не ограничиваются его возможности, которые знали и умели применять на практике ещё в глубокой древности египтяне и греки. Это доказывают построенные ими пирамиды и Парфенон. Ведь число 0, 618 является постоянным коэффициентом хорошо известного в старину золотого сечения. Согласно этому правилу, любой произвольный отрезок возможно поделить так, что отношение между его частями будет совпадать с отношением между большим из отрезков и общей длиной.

Построим ряд из указанных отношений и попытаемся проанализировать данную последовательность. Числовой ряд получится следующим: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 и так далее. Продолжая, таким образом можно убедиться, что предел сходящейся последовательности действительно будет 0,618. Однако, необходимо заметить и прочие свойства этой закономерности. Здесь цифры как бы идут вразнобой, а вовсе не в порядке возрастания или убывания. Это означает, что данная сходящаяся последовательность монотонной не является. О том, почему это так и пойдёт разговор далее.

Монотонность и ограниченность

Члены числового ряда с увеличением номера могут чётко убывать (если x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) или возрастать (если x 1

Расписав числа данного ряда можно заметить, что любой из его членов, неограниченно приближаясь к 1, никогда не превысит этого значения. В этом случае говорят об ограниченности сходящейся последовательности. Подобное бывает всякий раз, когда находится такое положительное число М, которое оказывается всегда больше любого из членов ряда по модулю. Если числовой ряд обладает признаками монотонности и имеет предел, а следовательно - сходится, то он обязательно наделён таким свойством. Причём обратное не обязательно должно быть верным. Об этом говорит теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Применение подобных наблюдений на практике оказывается очень полезным. Приведём конкретный пример, исследовав свойства последовательности X n = n/n+1, и докажем её сходимость. То, что она монотонна легко показать, так как (x n +1 - x n) есть число положительное при любых значениях n. Предел последовательности равен числу 1, а значит, соблюдаются все условия вышеуказанной теоремы, называемой также теоремой Вейерштрасса. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности утверждает, что если она имеет предел, то в любом случае оказывается ограниченной. Однако, приведём следующий пример. Числовой ряд X n = (-1) n является ограниченным снизу числом -1 и сверху 1. Но данная последовательность не является монотонной, не имеет предела и поэтому не сходится. То есть из ограниченности не всегда следует наличие предела и сходимости. Чтобы это выполнялось необходимо совпадение нижнего и верхнего предела, как в случае коэффициентов Фибоначчи.

Числа и законы Вселенной

Простейшими вариантами сходящейся и расходящейся последовательности являются, пожалуй, числовые ряды X n = n и X n = 1/n. Первая из них представляет собой натуральный ряд чисел. Она же является, как уже говорилось, бесконечно большой. Вторая сходящаяся последовательность ограничена, а члены её по величине приближаются к бесконечно малому. Каждая из этих формул олицетворяет одну из сторон многогранной Вселенной, помогая человеку на языке цифр и знаков представить себе и просчитать нечто непознаваемое, недоступное для ограниченного восприятия.

Законы мироздания, начиная от ничтожно малого и кончая невероятно большим, выражает также золотой коэффициент 0,618. Учёные считают, что он заложен в основу сути вещей и используется природой для формирования её частей. Упомянутые уже нами ранее отношения между последующим и предыдущим членами ряда Фибоначчи, не завершают на этом демонстрацию удивительных свойств этого уникального ряда. Если рассмотреть частное от деления предыдущего члена на последующей через один, то получим ряд 0,5; 0, 33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 и так далее. Интересно то, что эта ограниченная последовательность сходится, монотонной она не является, но отношение крайних от определённого члена соседних чисел всегда приблизительно оказывается равным 0,382, что тоже может быть использовано в архитектуре, техническом анализе и других отраслях.

Существуют и другие интересные коэффициента ряда Фибоначчи, все они играют в природе особую роль, а также применяются человеком в практических целях. Математики уверены, что Вселенная развивается по некоей «золотой спирали», формируемой из указанных коэффициентов. С их помощью возможно рассчитать многие явления, происходящие на Земле и в космосе, начиная от роста численности определённых бактерий и кончая движением далёких комет. Подобным же законам подчиняется, как выясняется, код ДНК.

Убывающая геометрическая прогрессия

Существует теорема, утверждающая единственность предела сходящейся последовательности. Это значит, что двух и более пределов у неё существовать не может, что несомненно важно для нахождения её математических характеристик.

Рассмотрим некоторые случаи. Любой числовой ряд, составленный из членов арифметической прогрессии, является расходящимся, за исключением случая с нулевым шагом. Это же касается геометрической прогрессии, знаменатель которой больше 1. Пределами таких числовых рядов являются «плюс» или «минус» бесконечности. Если же знаменатель меньше -1, то никакого предела вообще не существует. Возможны и другие варианты.

Рассмотрим числовой ряд, задаваемой формулой X n = (1/4) n -1 . С первого взгляда легко понять, что эта сходящаяся последовательность ограничена, потому что является строго убывающей и никаким образом не способна принимать отрицательные значения.

Распишем некоторое число её членов в ряд.

Получится: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0,00390625 и так далее. Достаточно совсем несложных расчётов, чтобы понять, как быстро данная геометрическая прогрессия со знаменателей 0

Фундаментальные последовательности

Огюстен Луи Коши, французский учёный, явил миру много работ связанных с математическим анализом. Он дал определения таким его понятиям, как дифференциал, интеграл, предел и непрерывность. Исследовал он также основные свойства сходящихся последовательностей. Для того, чтобы понять суть его идей, необходимо обобщить некоторые важные детали.

В самом начале статьи было показано, что есть такие последовательности, для которых существует окрестность, где точки, изображающие члены определённого ряда на числовой прямой, начинают скучиваться, выстраиваясь всё плотнее. При этом расстояние между ними при увеличении номера очередного представителя всё уменьшается, превращаясь в бесконечно малое. Таким образом, оказывается, что в данной окрестности группируется бесконечное число представителей данного ряда, в то время, как за её пределами их насчитывается конечное количество. Такие последовательности именуются фундаментальными.

Знаменитый критерий Коши, созданный французским математиком, однозначно указывает, что наличия подобного свойства достаточно, чтобы доказать, что последовательность сходится. Верно также обратное.

Следует заметить, что данное заключение французского математика представляет по большей части чисто теоретический интерес. Его применение на практике считается достаточно сложным делом, поэтому для выяснения сходимости рядов гораздо важнее доказать существование у последовательности конечного предела. В противном же случае она считается расходящейся.

При решении задач следует также учитывать основные свойства сходящихся последовательностей. Они представлены ниже.

Бесконечные суммы

Такие знаменитые учёные древности, как Архимед, Евклид, Евдокс использовали суммы бесконечных числовых рядов для вычисления длин кривых, объёмов тел и площадей фигур. В частности, именно таким образом удалось узнать площадь параболического сегмента. Для этого была использована сумма числового ряда геометрической прогрессии с q=1/4. Подобным способом находились объёмы и площади других произвольных фигур. Данный вариант назывался методом «исчерпывания». Идея заключалось в том, что исследуемое сложное по формам тело разбивалось на части, которые представляли собой фигуры с легко измеряемыми параметрами. По этой причине нетрудно было вычислить их площади и объёмы, потом же они складывались.

Кстати, похожие задачи очень знакомы современным школьникам и встречаются в заданиях ЕГЭ. Уникальный способ, найденный ещё далёкими предками, является и на сегодняшний день самым простейшим вариантом решения. Даже если частей, на которые разбивается числовая фигура, всего две или три, сложение их площадей всё равно представляет собой сумму числового ряда.

Гораздо позднее древнегреческих учёных Лейбниц и Ньютон, основываясь на опыте мудрых предшественников, познавали закономерности интегрального вычисления. Знания свойств последовательностей помогали им решать дифференциальные и алгебраические уравнения. В настоящее время созданная усилиями многих поколений талантливых учёных теория рядов даёт шанс решить огромное количество математических и практических проблем. А изучение числовых последовательностей составляет основную задачу, решаемую математическим анализом с момента его создания.