Энциклопедичный YouTube

1 / 5

Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом .

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности a n = { x 1 , x 2 , . . . , x n } {\displaystyle a_{n}=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}} , если ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , ∃ {\displaystyle \exists } N (ϵ) {\displaystyle N(\epsilon)} , ∀ {\displaystyle \forall } n > N (ϵ) {\displaystyle n>N(\epsilon)} : | a n − a | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Предел последовательности обозначается lim n → + ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}} . Куда именно стремится n {\displaystyle n} , можно не указывать, поскольку n {\displaystyle n} ∈ N {\displaystyle \in \mathbb {N} } , оно может стремиться только к + ∞ {\displaystyle +\infty } .

Свойства:

Если предел последовательности существует, то он единственный.
lim c = c {\displaystyle \lim c=c} , c − c o n s t {\displaystyle ,c-const}
lim (x n + y n) = lim x n + lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}}
lim (q x n) = q lim x n {\displaystyle \lim(qx_{n})=q\lim x_{n}} , q − c o n s t {\displaystyle ,q-const}
lim (x n y n) = lim x n lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}} (если оба предела существуют)
lim (x n / y n) = lim x n / lim y n {\displaystyle \lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}} (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
Если a n > x n > b n ∀ n {\displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n} и lim a n = lim b n {\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}} , то lim x n = lim a n = lim b n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}} (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если ∀ ϵ > 0 {\displaystyle \forall \epsilon >0} существует δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , такое что ∀ x , 0 < | x − a | < δ {\displaystyle \forall x,0<|x-a|<\delta } выполняется | f (x) − b | < ϵ {\displaystyle |f(x)-b|<\epsilon } .

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например, lim x → x 0 (f (x) + g (x)) = lim x → x 0 f (x) + lim x → x 0 g (x) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)} , если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть X {\displaystyle X} - некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U {\displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть x i ∈ X {\displaystyle x_{i}\in X} - последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x ∈ X {\displaystyle x\in X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x {\displaystyle x} лежат почти все члены последовательности то есть ∀ U (x) ∃ n ∀ i > n x i ∈ U (x) {\displaystyle \forall U(x)\exists n\forall i>nx_{i}\in U(x)}

Теория пределов - один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается "не знаю! Не умею! Нас не учили!"

Вычисление пределов методом подстановки

Пример 1. Найти предел функции
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой

Предел равен 18/11.
Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет - подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию. Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.

Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности

Пример 2. Найти предел функции
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности

Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени "икс" в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции

Поскольку значение стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей

Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
Формулами предел можно записать так

Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности

Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.

Пример 3. Найти предел функции
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется. С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел

Значение x^2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим

что предел равен 2,5.

Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции .

Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений

Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
Рассмотрим для наглядности несколько примеров.

Пример 4. Найти предел функции
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.
Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль.

После разложения предел функции можно записать в виде

Вот и вся методика вычисления предела функции. Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.

Пример 5. Найти предел функции
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Прямая подстановка показывает
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
что имеем неопределенность типа 0/0 .
Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность

Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида "квадратные уравнения" следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел

Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.

Пример 6. Найти предел функции
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имеем неопределенность типа 0/0 . В числителе применяем формулу сокращенного умножения

и вычисляем нужній предел

Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное

Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.

Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение: Представим переменную в формулу предела

При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение

По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции

Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку

Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.

Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю

Записываем разницу квадратов

Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции

Пример 9. Найти предел функции
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Подставим двойку в формулу

Получим неопределенность 0/0 .
Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета

Таким образом числитель запишем в виде

и подставим в предел

Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе

Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.

В этой главе изучается операция предельного перехода - основная операция математического анализа. Сначала рассмотрим предел функции натурального аргумента, поскольку все основные результаты теории пределов отчетливо видны в этой простой ситуации. Затем рассмотрим предел в точке функции действительной переменной.

2.1 Предел последовательности

2.1.1 Определение и примеры

Определение 2.1. Функцияf: N → X , областью определения которой является множество натуральных чисел, называется последовательностью.

Значения f(n), n N, называются членами последовательности. Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое происходит отображение, снабжая символ соответствующим индексом (аргументом функции f): xn = f(n). Элемент xn называется n-м членом последовательности. В связи с этим последовательность часто обозначают символом {xn } или {xn }+ n=1 ∞ , а также записывают в виде x1 , x2 , . . . , xn , . . . .

В дальнейшем в этой главе будем рассматривать только последовательность f: N → R действительных чисел.

Определение 2.2. Интервал, содержащий точкуa R, называют окрестностью этой точки. Интервал(a − δ, a + δ) ,δ > 0 , называют δ -окрестностью точкиa и обозначаютU a (δ) илиV a (δ) (часто пишут короче:U a илиV a ).

Определение 2.3. Числоa R называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любой окрестности точкиa существует номерN N такой, что все элементыx n последовательности, номера которых большеN, содержатся вU a . При этом пишут

n lim→∞ xn = aили lim xn = aили xn → aпри n → ∞.

В логической символике определение 2.3 имеет вид:

a R. a = lim xn Ua N = N(Ua ) N: n > N xn Ua .

Поскольку Ua (ε) = (a − ε, a + ε) = {x R: |x − a| < ε}, то часто употребляют следующую равносильную формулировку определения2.3

Определение 2.4. Числоa называют пределом числовой последовательности{x n } , если для любого положительного числаε найдется номерN = N(ε) такой, что все члены последовательности с номерамиn > N удовлетворяют неравенству|x n − a| < ε .

Соответственно, в логической символике это определение имеет вид: a R, a = lim xn ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε

Замечание. Первые члены последовательности не влияют на существование и величину предела в случае его существования.

Иногда полезна следующая геометрическая интерпретация определения 2.3 предела последовательности:

Число a называется пределом последовательности{x n } , если вне любой окрестности точкиa находится не более конечного числа членов последовательности{x n } .

Ясно, что если вне некоторой окрестности точки a находится бесконечное число членов {xn }, то a не является пределом {xn }.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.1. Если {xn } : xn = c, то lim xn = c, так как все члены последовательности, начиная с первого, принадлежат любой окрестности

Пример 2.2. Покажем, что последовательность {xn } : xn =

имеет предел и lim xn = 0.

Зафиксируем ε > 0. Так как

≤ n

< ε для n >

То, полагая N = max{1, }, получим:

|xn | ≤

Следовательно, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |xn | < ε.

Замечание. Одновременно мы доказали, что lim

Пример 2.3. Покажем, что lim

0, если q > 1.

Поскольку q > 1, то q = 1 + α, где α > 0. Поэтому n > 1 по формуле бинома Ньютона

qn = 1 + nα +n(n − 1) α2 + · · · + αn > nα.



Отсюда следует, что							N > 1. Зафиксируем ε > 0, положим

N = max{1, } и получим, что

Итак, ε > 0 N = max{1, } N: n > N |1/qn | < ε.

Пример 2.4. Покажем, что последовательность {xn } : xn = (−1)n , не имеет предела.

Для любого числа a укажем такую окрестность, вне которой расположено бесконечное множество членов данной последовательности. Для этого зафиксируем точку a R и рассмотрим ee единичную окрестность Ua (1) = (a − 1, a + 1). Поскольку x2k = 1, x2k+1 = −1, k N, и хотя бы одно из чисел +1 или −1 не принадлежит Ua (1), то вне Ua (1) находится бесконечное множество членов последовательности {xn }. Следовательно, число a не является её пределом. В силу произвольности числа a заключаем, что @ lim xn .

Определение 2.5. Числовая последовательность, имеющая пределом число, называется сходящейся. Все остальные последовательности называются расходящимися.

В логической символике определение 2.5 имеет вид: {xn } сходится a R: lim xn = a.

дящимися, а последовательность {(−1)n } - расходящейся.

2.1.2 Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 2.1. Последовательность не может иметь двух различных пределов.

Пусть числовая последовательность {xn } имеет два различных предела a и b. Для определенности будем считать, что a < b. Положим

ε = b − 2 a . По определению2.4 предела последовательности найдем N1 и

n −

такие, что

n > N , то есть

| n −

Тогда n > N = max{N1 , N2 }

< xn <

Чего быть не может.

Определение 2.6. Числовая последовательность {x n } называется ограниченной сверху (соответственно, снизу или ограниченной), если множество X = {x n | n N} является ограниченным сверху (снизу или ограниченным). Если X - неограниченное множество, то {x n } называется неограниченной последовательностью.

C учетом определений 2.1 и2.2 имеем:

{xn } ограничена сверху M R: n N xn ≤ M, {xn } ограничена снизу M R: n N xn ≥ M, {xn } ограничена M > 0: n N |xn | ≤ M,

{xn } не ограничена M > 0 n N: |xn | > M.

Теорема 2.2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Пусть последовательность {xn } сходится и lim xn = d. Полагая в определении2.4 ε = 1, найдем номер N такой, что |xn − d| < 1, n > N, то есть d − 1 < xn < d + 1, n > N. Введем обозначения:

a = min{x1 , x2 , . . . , xN , d − 1}, b = max{x1 , x2 , . . . , xN , d + 1}.

Тогда a ≤ xn ≤ b, n N.

Замечание. Ограниченность последовательности - необходимое, но недостаточное условие сходимости (см.пример 4) .

Теорема 2.3. Если числовая последовательность {x n } сходится и lim x n = a , то последовательность {|x n |} сходится и lim |x n | = |a|.

Так как a = lim xn , то ε > 0 N = N(ε) N: n > N |xn − a| < ε.

Отсюда следует, что n > N ||xn | − |a|| ≤ |xn − a| < ε.

Замечание 1. Из теоремы2.3 и примера3 следует, что при |q| > 1

lim q n = 0.

Замечание 2. Обратное утверждение к теореме2.3 не имеет места.

Астрономы могут похвастаться очередной значительной находкой. На этот раз они напали на след двух звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звёзды. Открытие в мгновение перечеркнуло ранее принятый теоретический предел массы космических гигантов. Масса одной из найденных звёзд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс.

Астрономы могут похвастаться очередной существенной находкой. На этот раз они напали на след 2-х звёздных скоплений, в каждом из которых есть массивные звезды. Открытие в мгновение перечеркнуло раньше принятый гипотетический предел многих космических гигантов. Масса одной из найденных кинозвезд при рождении превышала массу Солнца в 150 масс и составляла около 300 масс. Благодаря открытию скопления космических монстров, исследователи смогут вычислить предел многих кинозвезд.
Кинозвезды-великаны были обнаружены в молодых скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Исследованиями занимались исследователи из Университета Шеффилда. Группа под руководством проф. астрофизики Пола Кроутера (Paul Crowther) наблюдала за объектами с помощью инфракрасного аппарата 8-метрового телескопа VLT ESO. За исключением этого в наблюдениях были использованы архивные данные телескопа Хаббл.
В звёздном скоплении NGC 3603 случается непрерывный процесс рождения новых кинозвезд. Они образовываются в протяженных газово-пылевых облаках. В отличие от RMC 136 скопление NGC 3603 располагается в системе Млечный путь, на расстоянии от Солнца всего в 22 000 световых лет. II-е звёздное скопление, тоже небезызвестное как R136 располагается на ещё более значительном расстоянии от Солнца-165 000 световых лет (туманность Тарантул, галактика Большое Магелланово Облако). И, соответственно, выходит за пределы нашей Галактики. Объекты там отличаются возрастом, гигантской массой и весьма высокой температурой.
Проводимые раньше исследования указывали, что в скоплениях весьма вероятно присутствие кинозвезд-гигантов. Однако лишь теперь астрономам удалось отыскать объекты в десятки раз ярче и массивнее Солнца. Температура поверхности кинозвезд превышает температуру поверхности Солнца в 7раз (около 40 000 градусов). Модельные расчёты указывают на то, что гипергиганты сформировались и имели первоначальную массу более 150 солнечных масс. Самой огромной оказалась R136a1. Теперь масса светила может достигать 265 солнечных масс. Если её сравнить со Звездой Эта Киля (90-100 масс Солнца), то превосходство R136a1 понятно. Это по праву наиболее большая кинозвезда из всех раньше открытых.
Тоже в звёздном скоплении R136 были обнаружены ещё 3 гигантских светила. Их многих составляют 135 и 194 масс Солнца. Есть вероятность, что 1 из них в скором времени увеличится в два раза. Наподобие того, как в скоплении NGC 3603 увеличились многих 2-х кинозвезд. Великаны входили в двойную систему, при формировании их масса составляла примерно 150 солнечных.
От многих светила зависит сила звёздного ветра. Чем массивнее она, тем сильнее порывы ветра с её поверхности. Это к тому же оказывает влияние на продолжительность существования кинозвезды: из-за постоянного ветра, кинозвезда теряет собственную массу. Так около млн. лет тому назад, при собственном рождении, кинозвезда R136a1 обладала массой около 320 солнечных. Каждые 20 тыс. лет она теряла около 1 массу Солнца. Вот и получается, что с того момента она утратила 1/5 собственной первоначальной многих. Суперзвезда R136a1 уже близка к тому моменту, когда она станет сверхновой. До взрыва гиганту остался примерно 1 миллион лет, а это ещё 1/2 отмеренного срока.
Если сопоставить яркость Солнца и кинозвезды R136a1, то получится следующее. В первую очередь, соотношение яркости возможно сравнить с полной Луной. Во столько раз R136a1 будет ярче Солнца. Если кинозвезды поменять местами, то перемены в Солнечной системе произойдут незамедлительно. Масса гиганта повлияет на продолжительность г. на Земле: он сократится до 3-х недель. Сильное ультрафиолетовое облучение испепелит поверхность Земли и, соответственно, жизнь на нашей планете окажется невозможной.
Сверхмассивные кинозвезды- редкое явление. Они рождаются только в плотных звёздных скоплениях, что замедляет процесс исследований. Вся сложность заключается в том, что обнаружить их посреди крупного числа кинозвезд может лишь инфракрасная камера. Её разрешающая способность обязана быть весьма высокой.
Группа ученых из Университета Шеффилда постаралась оценить максимальную массу кинозвезд в скоплениях NGC 3603 и RMC 136. Тоже они старались подсчитать наиболее крупные кинозвезды. Дело в том, что массу одиночной кинозвезды вычислить почти нереально. Требуется, хотя бы, выяснить её температуру и скорость утраты многих. Нижний предел кинозвезд составляет не менее 80 масс Юпитера. Всё, что менее этого размера- бурые лилипуты. Но еще и верхняя планка звездных масс также есть. В виду последних открытий, учёным пришлось серьезно увеличить массовый предел. Сейчас цифра достигает 300 солнечных масс, а это почти вдвое более прошлого массового значения.
Стало известно, что в звёздном скоплении R136 массу более 150 масс Солнца (на миг рождения) имеют лишь 4 кинозвезды. 1 из них, а именно R136a1, создаёт ветер мощностью в 50 раз более, который, к примеру, исходит от туманности Орион. Это максимально близкая к нашей планете область образования кинозвезд. 4 гиганта серьезно влияют на общую картину скопления. Их излучения- уже 1/2 вклада в сильный звёздный ветер скопления R136. II-ая 1/2 принадлежит остальным 100 000 кинозвезд.
Процесс образования гигантских кинозвезд пока не понятен. Узнать это довольно непросто, ведь исследованиям мешают 2 фактора: недолгий срок существования крупных кинозвезд и мощный ветер, который беспрерывно привносит большое число изменений в массу кинозвезд. Потому учёным трудно до окончания разобраться с такими непростыми объектами как R136a1. Непонятен даже путь их образования. Версия о слиянии кинозвезд в одну к тому же остаётся возможной.
Кинозвезды, имеющие от 8 до 150 масс Солнца, живут недолго и взрываются как сверхновые. После себя они оставляют не только лишь нейронные кинозвезды, но еще и вороные дырки. Находка исследователей из Университета Шеффилда лишь увеличивает шанс на существовании теории о экстремально ярких сверхновых. Кинозвезды массой от 150 до 300 солнечных масс появляются из-за неустойчивости, которую вызывают пары частица-античастица. Кинозвезды-великаны взрываются ещё до коллапса в их ядрах. Особенным считается то, что после взрыва подобных мощных кинозвезд не остаётся ничего. При этом они выбрасывают в космос вещество в виде железа с массой до 10 солнечных масс. Существование кинозвезд-гигантов разрешает проблему максимального значения многих светил. За последнее время взрывоопасные объекты уже были обнаружены. Использованы материалы сайта Гомел-сат.