Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

f(x)=

в точке x 0 = Количество элементов ряда 3 4 5 6 7


Использовать разложение элементарных функций e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2 x ln2, f"(0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2 x ln 2 2, f""(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f"(x) = е x , f"(-4) = е -4 ;
f""(x) = е x , f""(-4) = е -4 ;
…
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Решение .


Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Таким образом,
, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:

Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов (n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:

Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
  • если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
  • если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
  • в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.



так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Пример №4 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Решение .
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .

На постоянном токе поток носителей электрозарядов не меняет свое направление во времени, хотя мгновенная его величина может меняться. На переменном токе ток периодически изменяет направленность. Количественная характеристика этого изменения – это частота электрического тока.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/1-16-768x461..jpg 800w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Измерение частоты тока осциллографом

Определение частоты и периода

Колебания потока зарядов происходят циклически, по синусоидальному закону. Протяженность одного такого цикла, выраженная в секундах, – это период переменного тока (Т).

Частота тока определятся количеством колебательных циклов за 1 секунду. Другими словами, это скорость, с которой ток меняет направление. Буквенный символ, обозначающий частоту, – f.

Взаимосвязь частоты и периода, выраженная математически, определяется формулой:

Справедлива и обратная зависимость:

Data-lazy-type="image" data-src="http://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/2-17-600x445.jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/2-17.jpg 711w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Период переменного тока

При расчетах частота переменного тока измеряется в герцах (Гц). Если током совершается 1 колебательный цикл в секунду, то f = 1 Гц.

Важно! Пятьдесят колебательных циклов за 1 секунду соответствуют 50 Гц. Это промышленная частота электрического тока в России.

Иногда в расчетах применяется угловая частота:

единица измерения этого показателя – рад/с.

1 радиан = 360°/2π.

Некоторые общие частотные диапазоны:

  • 50-60 Гц – частота тока в энергосистеме (60 Гц применяется, например, в США);
  • 1-20 кГц (килогерц) – частотно-регулируемые приводы;
  • 16 Гц -20 кГц – аудиочастоты (диапазон человеческого слуха);
  • 3 кГц-3000 ГГц (гигагерц) – радиочастоты.

Взаимосвязь частоты и работы электрооборудования

Схемы и электрооборудование предназначены для работы с фиксированной или переменной частотой.

Для электротехники, нормально функционирующей при фиксированной частоте, изменение этого показателя вызовет нарушения в работе. Например, электродвигатель на 50 Гц будет работать медленнее при частотном значении ниже 50 Гц и быстрее, если частотный показатель выше 50 Гц.

Важно! Между частотой и скоростью электродвигателя существует пропорциональная зависимость. Однопроцентное отклонение частоты приведет к такому же изменению скорости двигателя.

Частотный показатель является одним из основных параметров, по которым оценивается качество электроэнергии в энергосистемах. Кроме того, он показывает соответствие между вырабатываемой и потребляемой мощностями. Допустимое значение частотных колебаний в энергетической системе разрешается не выше 0,2 Гц. Причем при приближении к крайнему показателю энергетики принимают немедленные меры для его возвращения в диапазон колебаний ±0,05 Гц. Хотя минимальные пределы регламентированы в 0,4 Гц. Если частота снижается более значительно, может наступить ее лавинообразное падение из-за нарушения работы собственных нужд электростанции и впоследствии коллапс энергосистемы.

Jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/3-15.jpg 720w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">

Автоматическая частотная разгрузка

С целью недопущения этих процессов устанавливается АЧР (автоматическая частотная разгрузка). При превышении мощности потребления над вырабатываемой и отсутствии резерва активной мощности АЧР на электроподстанциях в соответствии с установленными очередями автоматически отключают потребителей. Когда частота восстанавливается, происходит автоматическое включение в обратном порядке. Установки срабатывания ступеней АЧР регулируются по частотному значению и выдержке времени в секундах.

Важно! Согласно Правилам технической эксплуатации, автоматика частотной разгрузки не должна допускать снижения частотного показателя мене 45 Гц даже на минимальное время.

Частотомер

Частотные изменения позволяет регистрировать частотомер. Такие приборы конструируются с использованием нескольких способов измерения:

  1. Дискретный счет. Применяется в цифровых приборах. Основан на вычислении количества сигналов за временную единицу;
  2. Перезаряд конденсаторов. Усредненный показатель силы тока, при которой перезаряжается конденсатор, соразмерен частоте. Ток фиксируется амперметром, а шкала устройства представлена в герцах;
  3. Сравнение частот. Прибором для использования этого способа часто является осциллограф, где происходит сравнение частотного значения с эталонным образцом;
  4. Вибрационные частотомеры. Содержат тонкие пластины из металла, закрепленные с одной стороны, которые начинают колебаться под воздействием электромагнитного поля, создаваемого в приборе. Пластина, частота колебаний которой резонирует с частотой колебаний электромагнитного поля, покажет искомое значение. Приборы применяются для замеров частотного показателя в питающей сети.

Data-lazy-type="image" data-src="http://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/4-12.jpg?.jpg 600w, https://elquanta.ru/wp-content/uploads/2018/02/4-12-150x150.jpg 150w" sizes="(max-width: 600px) 100vw, 600px">