Поиск нулей функции. Найдем нули функции

Значения аргумента z при которыхf (z ) обращается в ноль наз. нулевой точкой , т.е. если f (a ) = 0 , то а - нулевая точка .

Опр. Точка а наз. нулём порядка n , если ФКП можно представить в виде f (z ) = , где
аналитическая функция и
0.

В этом случае в разложении функции в ряд Тейлора (43) первые n коэффициентов равны нулю

= =

Пр. Определить порядок нуля для
и (1 –cos z ) при z = 0

=
=

ноль 1 порядка

1 – cos z =
=

ноль 2 порядка

Опр. Точка z =
наз. бесконечно удаленной точкой и нулем функции f (z ), если f (
) = 0. Такая функция разлагается в ряд по отрицательным степеням z : f (z ) =
. Если первые n коэффициентов равны нулю, то приходим к нулю порядка n в бесконечно удаленной точке: f (z ) = z - n
.

Изолированные особые точки делятся на: а) устранимые особые точки ; б) полюса порядка n ; в) существенно особые точки .

Точка а наз. устранимой особой точкой функции f (z ) , если при z
a lim f (z ) = с - конечное число .

Точка а наз. полюсом порядка n (n 1) функции f (z ), если обратная функция
= 1/ f (z ) имеет нуль порядка n в точке а. Такую функцию всегда можно представить в виде f (z ) =
, где
- аналитическая функция и
.

Точка а наз. существенно особой точкой функции f (z ), если при z
a lim f (z ) не существует.

Ряд Лорана

Рассмотрим случай кольцевой области сходимости r < | z 0 – a | < R с центром в точке а для функции f (z ). Введем две новые окружности L 1 (r ) и L 2 (R ) вблизи границ кольца с точкой z 0 между ними. Сделаем разрез кольца, по кромкам разреза соединим окружности, перейдем к односвязной области и в

интегральной формуле Коши (39) получим два интеграла по переменной z

f (z 0) =
+
, (42)

где интегрирование идет в противоположных направлениях.

Для интеграла по L 1 выполняется условие | z 0 – a | > | z – a |, а для интеграла по L 2 обратное условие | z 0 – a | < | z – a |. Поэтому множитель 1/(z – z 0) разложим в ряд (а) в интеграле по L 2 и в ряд (b) в интеграле по L 1 . В результате получаем разложение f (z ) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z 0 – a )

f (z 0) =
A n (z 0 – a ) n (43)

где A n =
=
;A -n =

Разложение по положительным степеням (z 0 – а )наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана.

Если внутри круга L 1 нет особых точек и функция аналитична, то в (44) первый интеграл равен нулю по теореме Коши и в разложении функции останется только правильная часть. Отрицательные степени в разложении (45) появляются лишь при нарушении аналитичности в пределах внутреннего круга и служат для описания функции вблизи изолированных особых точек.

Для построения ряда Лорана (45) для f (z ) можно вычислять коэффициенты разложения по общей формуле или использовать разложения элементарных функций, входящих в f (z ).

Число слагаемых (n ) главной части ряда Лорана зависит от типа особой точки: устранимая особая точка (n = 0) ; существенно особая точка (n
); полюс n – ого порядка (n - конечное число).

а) Для f (z ) = точка z = 0 устранимая особая точка, т.к. главной части нет. f (z ) = (z -
) = 1 -

б) Для f (z ) = точка z = 0 - полюс 1 – ого порядка

f (z ) = (z -
) = -

с) Для f (z ) = e 1 / z точка z = 0 - существенно особая точка

f (z ) = e 1 / z =

Если f (z ) аналитична в области D за исключением m изолированных особых точек и |z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m | , то при разложении функции по степеням z вся плоскость разбивается на m + 1 кольцо | z i | < | z | < | z i + 1 | и ряд Лорана имеет разный вид для каждого кольца. При разложении по степеням (z – z i ) областью сходимости ряда Лорана является круг | z – z i | < r , где r – расстояние до ближайшей особой точки.

Пр. Разложим функцию f (z ) =в ряд Лорана по степенямz и (z - 1).

Решение. Представим функцию в виде f (z ) = - z 2 . Используем формулу для суммы геометрической прогрессии
. В круге |z| < 1 ряд сходится и f (z ) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , т.е. разложение содержит только правильную часть. Перейдем во внешнюю область круга |z| > 1 . Функцию представим в виде
, где 1/|z | < 1, и получим разложение f (z ) = z
=z + 1 +

Т.к. , разложение функции по степеням (z - 1) имеет вид f (z ) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) для всех
1.

Пр. Разложить в ряд Лорана функцию f (z ) =
: а)по степеням z в круге |z | < 1; b) по степеням z кольце 1 < |z | < 3 ; c) по степеням (z – 2).Решение. Разложим функцию на простейшие дроби
= =+=
. Из условий z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

а) f (z ) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], при |z |< 1.

b) f (z ) = - ½ [
+
] = - (
), при 1 < |z | < 3.

с) f (z ) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, при |2 - z | < 1

Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .

В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.

Пр. Исследовать сходимость ряда

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Это сумма двух геометрических прогрессий с q 1 = , q 2 = () . Из условий их сходимости следует < 1 , < 1 или |z | > 1 , |z | < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z | < 2 .

Математическое представление функции показывает наглядно то, как одна величина всецело определяет значение иной величины. Традиционно рассматриваются числовые функции, которые ставят в соответствие одним числам другие. Нулем функции, обыкновенно называют значение довода, при котором функция обращается в нуль.

Инструкция

1. Для того, дабы обнаружить нули функции, нужно приравнять ее правую часть к нулю и решить полученное уравнение. Представим, вам дана функция f(x)=x-5.

2. Для нахождения нулей этой функции, возьмем и приравняем ее правую часть к нулю: x-5=0.

3. Решив это уравнение получим, что x=5 и это значение довода и будет нулем функции. То есть при значении довода 5, функция f(x) обращается в нуль.

Под представлением функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить больше верно, это «закон», по которому всему элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие определенный элемент иного множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

• Знания в области алгебры и математического обзора.

Инструкция

1. Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Скажем область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Дабы обнаружить значение функции в определенной точке нужно подставить взамен довода функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значение м функции . Пускай дана функция f(x)=|x| – 10 + 4x. Обнаружим значение функции в точке x=-2. Подставим взамен x число -2: f(-2)=|-2| – 10 + 4*(-2) = 2 – 10 – 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание!
Раньше чем искать значение функции в точке – удостоверитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет
Аналогичным методом дозволено обнаружить значение функции нескольких доводов. Различие в том, что взамен одного числа нужно будет подставить несколько – по числу доводов функции.

Функция представляет собой установленную связанность переменной у от переменной x. Причем всем значению х, называемого доводом, соответствует исключительное значение у – функции. В графическом виде функция изображается на декартовой системе координат в виде графика. Точки пересечения графика с осью абсцисс, на которой откладываются доводы х, именуются нулями функции. Поиск допустимых нулей – одна из задач по изысканию заданной функции. При этом учитываются все допустимые значения само­стоятельной переменной x, образующие область определения функции (ООФ).

Инструкция

1. Нуль функции – это такое значение довода х, при котором значение функции равно нулю. Впрочем нулями могут быть лишь те доводы, которые входят в область определения исследуемой функции. То есть в такое уйма значений, для которых функция f(x) имеет толк.

2. Запишите заданную функцию и приравняйте ее к нулю, скажем f(x) = 2х?+5х+2 = 0. Решите получившееся уравнение и обнаружьте его действительные корни. Корни квадратного уравнения вычисляются с поддержкой нахождения дискриминанта. 2х?+5х+2 = 0;D = b?-4ac = 5?-4*2*2 = 9;х1 = (-b+?D)/2*а = (-5+3)/2*2 = -0,5;х2 = (-b-?D)/2*а = (-5-3)/2*2 = -2.Таким образом, в данном случае получены два корня квадратного уравнения, соответствующих доводам начальной функции f(x).

3. Все обнаруженные значения х проверьте на принадлежность к области определения заданной функции. Обнаружьте ООФ, для этого проверьте начальное выражение на наличие корней четной степени вида?f (х), на присутствие дробей в функции с доводом в знаменателе, на наличие логарифмических либо тригонометрических выражений.

4. Рассматривая функцию с выражением под корнем четной степени, примите за область определения все доводы х, значения которых не обращают подкоренное выражение в негативное число (напротив функция не имеет смысла). Уточните, попадают ли обнаруженные нули функции в определенную область допустимых значений х.

5. Знаменатель дроби не может обращаться в нуль, следственно исключите те доводы х, которые приводят к такому итогу. Для логарифмических величин следует рассматривать лишь те значения довода, при которых само выражение огромнее нуля. Нули функции, обращающие подлогарифмическое выражение в нуль либо негативное число, обязаны быть отброшены из финального итога.

Обратите внимание!
При нахождение корней уравнения, могут возникнуть лишние корни. Проверить это легко: довольно подставить полученное значение довода в функцию и удостовериться обращается ли функция в нуль.

Полезный совет
Изредка функция не выражается в очевидном виде через свой довод, тогда легко нужно знать, что представляет собой эта функция. Примером этому может служить уравнение окружности.

В котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

Является нулём, поскольку

Нули функции также называются корнями функции .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс .

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона , градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана .

Корень многочлена

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Нуль функции" в других словарях:

Точка, где заданная функция f (z) обращается в нуль; таким образом, Н. ф. f (z) это то же самое, что и корни уравнения f (z) = 0. Например, точки 0, π, π, 2π, 2π,... суть нули функции sinz. Нули аналитической функции (См. Аналитические… …

Нуль функция, нуль функции … Орфографический словарь-справочник

У этого термина существуют и другие значения, см. Нуль. Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Нуль функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот … Википедия

Или C строка (от названия языка Си) или ASCIZ строка (от названия директивы ассемблера.asciz) способ представления строк в языках программирования, при котором вместо введения специального строкового типа используется массив символов, а концом… … Википедия

В квантовой теории поля принятое (жаргонное) название для свойства обращения в нуль фактора перенормировки константысвязи где g0 затравочная константа связи из лагранжиана взаимодействия, физ. константа связи, одетая взаимодействием. Равенство Z … Физическая энциклопедия

Нуль-мутация н-аллель - Нуль мутация, н. аллель * нуль мутацыя, н. алель * null mutation or n. allel or silent a. мутация, ведущая к полной потере функции в той последовательности ДНК, в которой она произошла … Генетика. Энциклопедический словарь

Утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. остаточное событие), наступление к рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет… … Математическая энциклопедия

1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение x2 + y2 1 = 0 задаёт Н. ф. … Большая советская энциклопедия