где - постоянные затраты, которые не зависят от режима обработки, мин;

Здесь - подготовительно – заключительное время на операцию, мин;

Размер партии обрабатываемых деталей;

Вспомогательное время операции, мин;

Время на обслуживание без учета времени на замену инструмента, мин;

Время на отдых рабочего, мин;

Затраты времени, связанные с заменой затупившегося инструмента и соответствующей поднастройкой технологической системы;

где - время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;

Диаметр и длина обрабатываемого вала;

Коэффициент для расчета скорости резания;

Скорость резания;

Глубина резания;

Здесь - показатели степени в формулах для расчета режимов резания.

Анализ целевой функции времени позволяет вскрыть резервы дополнительного повышения производительности и определить оптимальные режимы резания, обеспечивающие минимальные затраты на выполнение операции.

Целевая функция стоимости на примере обработки вала имеет вид:

Здесь - расходы на материал;

Расходы в единицу времени соответственно на эксплуатацию оборудования, приспособления, по зарплате с учетом накладных расходов;

Время на замену инструмента и соответствующую размерную настройку;

Стоимость инструмента за период его эксплуатации.

Первый член выражения определяет постоянные затраты на материал, расходы, связанные с подготовительно – заключительным временем и временем обслуживания. Второй член выражения определяет затраты на режущий инструмент и простои при его замене. Третий член выражения определяет расходы, связанные непосредственно с выполнением процесса резания.

Объемное планирование работы технологических станочных систем

Эта и все последующие лекции посвящены вопросам математического моделирования и оптимизации технологических станочных систем.

Объемное планирование работы механического участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования

Постановка задачи . Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j - ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – B i . Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 14.1.

Таблица 14.1. Исходные данные для решения задачи, представленные в общем виде

Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.



Математическая модель для решения задачи запишется:

Ограничения :

Задача решается методом линейного программирования. При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (14.1) - (14.3) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.

Пример. Исходные данные для примера приведены в таблице 14.2.

Таблица 14.2. Исходные данные для решения задачи

Обозначим через количество деталей типа D 1 , через количество деталей типа D 2 .

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

Ограничения (по фонду времени работы оборудования):

Требуется найти значения и , удовлетворяющие заданным ограничениям (14.6) – (14.10) и обеспечивающие максимум целевой функции (14.11). Параметры и являются управляемыми параметрами в математической модели.

Решим задачу графо – аналитическим методом (см. лекцию 6). Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 14.1.

Рис.14.1. Графическая иллюстрация решения задачи

Вычисления для построения ограничений (14.6) – (14.8):

x 1
x 2
x 1
x 2

Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат (точки пересечения ограничений 14.7 и 14.8) решаем следующую систему уравнений:

Т.е. окончательно

Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:

Задача о минимальной загрузке оборудования

Эта и последующие задачи в данной лекции приводятся на уровне постановки задачи и формирования математической модели для ее решения. Все они решаются методами линейного программирования.

Имеется m станков, на которых могут быть изготовлены n типов деталей. Производительность i - го станка при изготовлении детали j - го типа составляет C ij . Величины плановых заданий A j на изготовление j - ой детали и ресурс времени B i работы i - го станка приведены в таблице 14.3.

Таблица 14.3 Исходные данные для решения задачи

Требуется, учитывая ресурсы времени работы каждого станка распределить задания между станками таким образом, чтобы общее время работы всех станков было минимальным.

Пусть t ij - время изготовления j - ой детали i - м станком. Составим ограничения по ресурсу времени для каждого станка:

Решение поставленной задачи состоит в минимизации линейной целевой функции (суммарного времени)

(14.14)

при ограничениях (14.12), (14.13) и условии, что все переменные .

Задача об оптимальном распределении деталей по станкам

Пусть некоторая машина состоит из различных видов деталей, которые мы пронумеруем числами . Имеется типов различных станков, причем количество станков - го типа равно . Детали могут быть изготовлены на станках разного типа. Производительность станка - го типа при изготовлении - ой детали составляет . После изготовления детали поступают на сборку. Требуется закрепить станки за деталями так, чтобы в единицу времени получать максимальное количество машин.

Пусть - количество станков - го типа, на которых можно изготовить - ю деталь. Очевидно, что количество станков - го типа, изготавливающих детали видов, не должно превышать заданное число :

Общее количество комплектов деталей, необходимых для сборки машины, равно общему количеству какой-либо одной детали, имеющей, например, номер 1. Поэтому решение задачи заключается в максимизации линейной функции

(14.17)

при ограничениях (14.15), (14,16) с дополнительным условием, что все переменные .

Найденные оптимальные значения этой задачи не обязательно целые числа. Например, означает, что на двух станках первого типа в течение единицы времени будут изготовлять деталь с номером 1, тогда как третий станок того же типа будет работать лишь половину указанного времени.

Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья

Из видов сырья производится различных типов продукции. Стоимость реализации изготовленной продукции - го типа составляет . Запас сырья - го вида на планируемый период равен . Потребность в сырье - го типа составляет . Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 14.4.

Таблица 14.4 Исходные данные для решения задачи

Требуется для каждого типа продукта определить такой объем производства , чтобы обеспечить максимальную стоимость реализации изготовленной продукции при условии, что не будут превышены запасы имеющегося сырья.

Ограничения по запасам сырья имеют вид:

(14.18)

Задача заключается в том, чтобы определить оптимальные значения параметров (переменных) , обращающих в максимум стоимость продукции, т.е. целевую функцию

при ограничениях (14.18) и дополнительных условиях .

Основы теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели (до этого нами рассматривались детерминированные математические модели). Напомним, что:

Детерминированная математическая модель отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.

Вероятностная математическая модель учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Т.е. здесь как, например, в теории игр задачи рассматриваются в условиях неопределенности .

Рассмотрим сначала некоторые понятия, которые характеризуют «стохастическую неопределенность», когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Такую неопределенность называют еще «благоприятной», «доброкачественной».

Понятие случайного процесса

Строго говоря, случайные возмущения присущи любому процессу. Проще привести примеры случайного, чем «неслучайного» процесса. Даже, например, процесс хода часов (вроде бы это строгая выверенная работа – «работает как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Пусть имеется некоторая система S (техническое устройство, группа таких устройств, технологическая система – станок, участок, цех, предприятие, отрасль промышленности и т.д.). В системе S протекает случайный процесс , если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Примеры: 1. Система S – технологическая система (участок станков). Станки время от времени выходят из строя и ремонтируются. Процесс, протекающий в этой системе, случаен.

2. Система S – самолет, совершающий рейс на заданной высоте по определенному маршруту. Возмущающие факторы – метеоусловия, ошибки экипажа и т.д., последствия – «болтанка», нарушение графика полетов и т.д.

Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским , если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы знаем характеристики состояния системы в настоящем и все, что было при t < t 0 (предысторию процесса). Можем ли мы предугадать (предсказать) будущее, т.е. что будет при t > t 0 ? В точности – нет, но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность того, что через некоторое время система S окажется в состоянии S 1 или останется в состоянии S 0 и т.д.

Пример . Система S – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Пусть x – количество «красных» самолетов, y – количество «синих» самолетов. К моменту времени t 0 количество сохранившихся (не сбитых) самолетов соответственно – x 0 , y 0 . Нас интересует вероятность того, что в момент времени численный перевес будет на стороне «красных». Эта вероятность зависит от того, в каком состоянии находилась система в момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента t 0 самолеты.

На практике Марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются. Но имеются процессы, для которых влиянием «предистории» можно пренебречь. И при изучении таких процессов можно применять Марковские модели (в теории массового обслуживания рассматриваются и не Марковские системы массового обслуживания, но математический аппарат, их описывающий, гораздо сложнее).

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием , если его возможные состояния S 1 , S 2 , … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Процесс называется процессом с непрерывным временем , если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Пример . Технологическая система (участок) S состоит из двух станков, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможны следующие состояния системы:

S 0 - оба станка исправны;

S 1 - первый станок ремонтируется, второй исправен;

S 2 - второй станок ремонтируется, первый исправен;

S 3 - оба станка ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний . Вершины графа – состояния системы. Дуги графа – возможные переходы из состояния в

Рис.15.1. Граф состояний системы

состояние. Для нашего примера граф состояний приведен на рис.15.1.

Примечание. Переход из состояния S 0 в S 3 на рисунке не обозначен, т.к. предполагается, что станки выходят из строя независимо друг от друга. Вероятностью одновременного выхода из строя обоих станков мы пренебрегаем.

Потоки событий

Поток событий – последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

В предыдущем примере – это поток отказов и поток восстановлений. Другие примеры: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени O t – рис. 15.2.

Рис.15.2. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Рассмотрим некоторые свойства (виды) потоков событий.

Поток событий называется стационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

В частности, интенсивность стационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий , если для любых двух непересекающихся участков времени и (см. рис.15.2) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным , если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

Линейное программирование.

Краткие теоретические сведения

Постановка задач

Решение прямой задачи линейного программирования отвечает на следующий вопрос:

при каких интенсивностяхn процессов получения прибыли (оказании различных услуг, производственных процессов), в которых используютсяm видов ресурсов (факторов производства) с известными предельными интенсивностями использования этих ресурсов выручка от реализации (прибыль) будет максимальна в случае, когда интенсивность расхода каждого ресурса и интенсивность получения прибыли (выручки) в каждом из процессов линейно зависят от интенсивности этого процесса.

Решение двойственной к ней задачи отвечает на следующий вопрос:

при каких наименьших ценах на единицу ресурса экономическому агенту будет невыгодно дальнейшее расширение процесса получения прибыли за счёт приобретения новых объёмов дефицитных в сложившихся условиях экономической деятельности ресурсов.

Прямая задача линейного программирования может быть связана со следующей ситуацией. Имеются n способов получения прибыли (оказание n видов услуг) с объёмами x i (число штук i -й оказанных услуг) . При этом используются m видов ресурсов, запас j -го изкоторых равен b j . При этом расход каждого ресурса j и величина прибыли в каждом из процессов i линейно зависят от количества оказанных услуг i -го вида с коэффициентами a ji и c i , соответственно. Матрица А =(a ji ) m ´ n по смыслу аналогична такой же из первой части и также называется матрицей технологических, или структурных коэффициентов. Тогда оптимальный по критерию максимума получения прибыли план может быть получен из решения следующей прямой задачи линейного программирования:

Этой задаче можно поставить в соответствие расширенную матрицу следующего вида:

(4.1)

Двойственная к задаче (4) задача имеет следующий вид (z j – искомые предельные цены):

При такой формулировке двойственной задачи из условия минимизации цен вытекают (5.1) и (5.3), а из условия невыгодности продолжения деятельности прямо возникает условие превышения или равенства издержек над выручкой от реализации.

Основные понятия модели

Решение (план, программа)- набор, вектор конкретных значений всех переменных параметров управления модели – тех величин которые могут быть изменены по воле управляющего объектом моделирования. Решения бывают допустимые (реализуемые на практике), недопустимые (не реализуемые в силу существующих в модели ограничений) и оптимальные (лучшие из допустимых).

Целевая функция L(x) – математическое выражение, связывающее факторы (параметры) модели. Экономический смысл целевой функции отражает критерий оптимальности – показатель, имеющий экономическое содержание и служащий формализацией конкретной цели управления, например: максимизация прибыли (строка 1 в (4)), максимизация качества продукции или минимизация издержек (5.1).


Система ограничений модели – пределы, ограничивающие область допустимых (приемлемых, осуществимых) решений , фиксирующие основные внутренние и внешние свойства объекта, связанные с целью оптимизации. Уравнения связи (типа f j (x) )– математическая формализация системы ограничений (строки 2 и 3 в (4), (5.2 , 5.3)). Система ограничений отражает экономический смысл уравнений связи.

Система, состоящая из целевой функции и уравнений связи, -задача экономико- математического моделирования (ЭММ). В случае, когда целевая функция и уравнения связи линейны, а переменные управления меняются непрерывно, задача ЭММ называетсязадачей линейного программирования (ЛП) . Основное свойство множества допустимых планов (МДП) задачи ЛП - оно является выпуклым многогранником. Выпуклым называется множество, которому принадлежат все отрезки, соединяющие любые две точки этого множества. Если задача ЛП имеет решение, то оно находится в вершине МДП. Планы, находящиеся в вершинах МДП, называются базовыми. Задачи линейного программирования делятся на задачи с ограничениями в форме неравенств (общая задача ЛП) и в форме равенств (каноническая задача ЛП). При математической формализации экономических задач с помощью линейной модели получаются общие задачи ЛП – например, (4), (5). Любой общей задаче путём введения дополнительных переменных может быть сопоставлена каноническая задача. Так, задаче (4) путём введения в каждое неравенство типа “расход ресурса £ запас ресурса” (строка 2 в (4)) дополнительной переменной x n+j (неизрасходованный остаток j -го ресурса) сопоставляется следующая каноническая:

При этом размерность задачи (6) – число переменных плана - по сравнению с (4) увеличилась с n до n+m .

При решении задачи (4) важное значение имеют коэффициенты ресурсоотдачи, среди которых здесь будут использованы дифференциальные и приростные. Дифференциальный коэффициент ресурсоотдачи k ji показывает стоимость оказанных при использовании единицы j -го ресурса i –ых услуг. Те виды услуг, для которых все k ji оказываются наименьшими по всем видам услуг, являются наименее выгодными. Они не должны присутствовать в оптимальном плане. Это позволяет, путём принудительного обнуления объёмов оказания таких услуг снизить размерность задачи и, таким образом, упростить её решение. Вычисляются они следующим образом - k ji =c i /a ji .

приростной коэффициент ресурсоотдачи К j – это коэффициент пропорциональности между приращением значения целевой функции оптимального плана и вызвавшим это приращение изменением запасов j -го ресурса. Можно считать, что К j показывают, на сколько увеличится значение целевой функции исходной задачи в оптимальном плане при увеличении величины запаса j -го ресурса на единицу. С математической точки зрения является полной производной от оптимального значения целевой функции по величине запаса j -го ресурса: К j =dL opt /db j .

В условиях рыночной системы управления производственной и сбытовой деятельностью предприятий и фирм в основе принятия хозяйственных решений лежит рыночная информация, а обоснованность решений проверяется рынком в ходе реализации товаров и услуг. При таком подходе начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы моделирования спроса и потребления.

Рассмотрим потребителя, который в результате своего существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей потребителя обозначим через U .Предположим, что имеется n видов благ Б 1 , Б 2 ,…, Б n . В качестве благ могут выступать:

· продовольственные товары;

· товары первой необходимости;

· товары второй необходимости;

· предметы роскоши;

· платные услуги и т. д.

Пусть количество потребления каждого блага равно х 1 , х 2 ,…, х n . Целевой функцией потребления называется зависимость между степенью (уровнем) удовлетворения потребностей U и количеством потребляемых благ: х 1 , х 2 , …, х n . Эта функция имеет вид .

В пространстве потребительских благ каждому уравнению соответствует определенная поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия . Гиперповерхность такой кривой, называемой многомерной поверхностью безразличия, можно представить в виде , где С - константа. Для наглядности рассмотрим пространство двух благ, например, в виде двух агрегированных групп товаров: продукты питания Б 1 и непродовольственные товары, включая платные услуги Б 2 . Тогда уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям константы С .Для этого выражают количество потребления одного блага х 1 через другое х 2 . Рассмотрим пример.

Пример 6.3 . Целевая функция потребления имеет вид . Найти кривые безразличия.

Решение . Кривые безразличия имеют вид или , или (при этом следует отметить, что должно выполняться ).



Каждый потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то есть . Однако максимизации степени удовлетворения потребностей будут мешать возможности потребителя. Обозначим цену на единицу каждого блага через р 1 , р 2 ,…, р n , а доход потребителя через D .Тогда должно выполняться бюджетное ограничение , имеющее смысл закона, согласно которому затраты потребителя не должны превышать сумму дохода:

В результате для нахождения оптимального набора благ необходимо решать задачу оптимального программирования:

(6.3)

Рассмотрим двухфакторную функцию потребления , где х 1 - объем потребления продуктов питания и х 2 - потребление непродовольственных товаров и платных услуг. Кроме того, предположим, что весь доход потребитель направляет на удовлетворение своих потребностей. В этом случае бюджетное ограничение будет содержать только два слагаемых, и неравенство превратится в равенство. Задача оптимального программирования при этом примет вид:

(6.4)

Геометрически оптимальное решение имеет смысл точки касания кривой безразличия линии, соответствующей бюджетному ограничению.

х 2
Из бюджетного ограничения системы (6.4) можно выразить переменную . Подставив это выражение в целевую функцию, получаем функцию одной переменной , максимум которой можно найти из уравнения, приравняв производную к нулю: .

Пример 6.4 . Целевая функция потребления имеет вид . Цена на благо Б 1 равна 20, цена на благо Б 2 равна 50. Доход потребителя составляет 1800 единиц. Найти кривые безразличия, оптимальный набор благ потребителя, функцию спроса на первое благо по цене, функцию спроса на первое благо по доходу.

Решение. Кривые безразличия имеют вид:

Получаем множество гипербол, расположенных в первой координатной четверти на разном расстоянии от начала координат в зависимости от значения константы С .

Находим оптимальный набор благ. Задача оптимального программирования имеет вид:

Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию

Находим производную и приравниваем ее к нулю

Получаем .

Таким образом, оптимальный набор благ составляют 30,5 и 23,8 единиц. Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него. Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения вводим цену первого блага , получая уравнение: . Выражаем

или , откуда находим функцию спроса на первое благо по цене: .

Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого выражаем из бюджетного ограничения одну переменную через другую: . Подставляем в целевую функцию:

Находим производную и приравниваем ее к нулю:

Отсюда находим функцию спроса на первое благо по доходу

7. Модель
межотраслевого баланса

Балансовые модели предназначены для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельного предприятия до народного хозяйства в целом. Если вспомнить историю народного хозяйства как Советского Союза и России, так и других развитых стран, то можно наблюдать, что в экономике многих государств в разное время случались экономические кризисы разных крайностей от кризисов перепроизводства (США, середина ХХ века), до дефицита (Россия, конец ХХ века). Все эти экономические кризисы связаны с нарушением баланса между производством и потреблением. Из этих фактов видно, что баланс между произведенной продукцией и потреблением является важным критерием как для макроэкономики, так и для микроэкономики.

Экономико-математические модели баланса пытались выстроить многие экономисты и математики с самого начала возникновения проблемы, однако, наиболее полную балансовую модель удалось построить в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым (который после революции эмигрировал в США и за свою модель получил Нобелевскую премию в области экономики). Эта модель позволяла рассчитать баланс между несколькими взаимодействующими отраслями, хотя ее можно легко обобщить и для организаций микроэкономики, например, для вычисления баланса между несколькими взаимодействующими предприятиями или между подразделениями одного предприятия (например, цехами одного завода).

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции; а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Предположим, что рассматривается п отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Пусть общий объем произведенной продукции i -й отрасли равен . Полная стоимость продукции, произведенной i -й отраслью, будем называть валовым продуктом этой отрасли. Теперь рассмотрим, на что тратится продукция, производимая отраслью. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и потребление другими отраслями, связанными с этой отраслью. Количество продукции i -й отрасли, предназначенной для конечного потребления (вне сферы материального производства) личного и общественного j -й отраслью, обозначим . Оставшаяся часть предназначена для реализации во внешнюю сферу. Эта часть называется конечным продуктом. Пусть i -я отрасль производит конечного продукта.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год). Так как валовой объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то уравнение баланса между производством и потреблением будет иметь вид

, (i = 1, 2, …, n ). (7.1)

Уравнения (7.1) называются соотношениями баланса.

. (7.2)

Все ранее рассмотренные показатели можно записать в основную балансовую таблицу:

Отрасль Потребление отраслей, Конечный продукт, Валовойпродукт,
… n
…
…
… … … …
n …
Чистый продукт …

В результате основная балансовая таблица содержит четыре матрицы: матрицу межотраслевых производственных связей

; матрицу валовой продукции ; матрицу конечной продукции и матрицу чистой продукции .

Одной из задач балансового анализа является определение валового продукта , если известно распределение конечного . Для этого введем коэффициенты прямых затрат

Они получаются в результате деления всех элементов каждого столбца матрицы на соответствующий элемент матрицы межотраслевых производственных связей Х .Коэффициенты прямых затрат имеют смысл количества потребления продукции j -й отрасли, необходимой для производства единицы продукции i -й отраслью. Из выражения (7.3) можно получить: . Подставив последнее выражение в соотношение баланса (7.1), получим

. (7.4)

Если обозначить матрицу коэффициентов прямых затрат как , то соотношение баланса (7.4) в матричном виде можно записать в виде

Из последнего выражения можно найти значение конечного продукта при известном значении валового

где - единичная матрица того же размера, что и А .

Пример 7.1 . Баланс четырех отраслей за предыдущий период имеет матрицу межотраслевых производственных связей вида и матрицу валовой продукции вида . Необходимо определить конечный продукт Y и чистый продукт C каждой отрасли.

Конечный продукт Y получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции суммы элементов соответствующих строк матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 20 + 15 + 10) = 45. Чистый продукт С получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы валовой продукции Х суммы элементов соответствующих столбцов матрицы . Например, первое значение равно 100 – (10 + 5 + 25 + 20) = 40. В результате получим основную балансовую таблицу:

Отрасль Потребление отраслей, Конечный продукт, Валовойпродукт,
Чистый продукт, S = 210 S = 400

Поставим теперь другую задачу: рассчитаем конечный продукт каждой отрасли на будущий период, если валовой продукт окажется равным . Для решения этой задачи найдем коэффициенты прямых затрат:i -й отрасли.

Пример 7.2 . В некотором регионе имеются две основные отрасли народного хозяйства: машиностроение (м/с) и сельское хозяйство (с/х). Баланс этих отраслей за отчетный период определяется матрицами , . Вычислим остальные показатели и заполним основную балансовую таблицу

Предположим, что на будущий период планируется конечная продукция в объемах . Нужно определить, какой валовой продукт при этом нужно планировать. Найдем коэффициенты прямых затрат:

Можно выделить следующие причины, по которым экономические системы являются стохастическими:

1) система сложная, многокритериальная, описывается многоуровневой иерархической структурой;

2) система подвержена влиянию большого числа неуправляемых внешних факторов (погодные условия, внешняя политика, социальные факторы и т. д.);

3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.

Исходя из этого для моделирования многих экономических систем используют математические методы, основанные на применении законов теории вероятностей, которые получили название стохастических методов .

При применении стохастических методов оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при заданных параметрах необходимо найти такое решение, когда значение целевой функции в среднем будет максимальным.

Стохастические системы в экономике описываются марковским аппаратом, в основе которого лежат марковские случайные процессы . Они применяются в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой многопараметрическую вероятностную экономическую систему.

Являясь централизованным, выполняет следующие функции функцию регулирования цен между новой и серийной продукцией функцию целевого и постоянного обеспечения -процесса производства новой техники денежными средствами функцию перераспределения средств по освоению новой техники между предприятиями, в различной степени участвующими в освоении новой техники.  

Что касается расходов государства, то они представляют целевые фонды денежных средств , ассигнованные и фактически использованные государством для реализации своих функций. К основным функциям целевых расходов относят  

Перейдем теперь к описанию целевых функций. Целевая функция ПМ  

Целевая функция. Целевая функция определяет задачу, которая должна быть решена в процессе оптимизации. Например, в этой главе мы занимаемся минимизацией риска портфеля активов. Типичной целевой функцией для портфеля рискованных активов будет  

ФУНКЦИЯ ЦЕЛЕВАЯ - это функция, которая связывает цель (оптимизируемую переменную) и управляемые переменные в задаче оптимизации.  

Первое выражение называется целевой функцией (равно произведению прибыли на единицу продукта с,- на выпуск этого продукта Xj). Остальные уравнения составляют линейные ограничения , которые означают, что расход сырья, полуфабрикатов, качество продукции , мощности, т. е. исходные ресурсы, не должны превышать заранее установленных величин / /. Коэффициенты а,7 - постоянные величины , показывающие расход ресурса на /-и продукт. Задача может быть решена при неотрицательности переменных и при числе неизвестных большем, чем число ограничений. Если последнее условие не удовлетворяется, то задача является несовместной.  

В качестве целевой функции принимаем выработку автобензина А-76  

Целевая функция имеет вид  

Поскольку от объема производства зависят переменные затраты , то максимизации подлежит разность между ценой и переменными затратами . Условно-постоянные расходы (амортизационные отчисления , затраты па текущий ремонт , заработная плата с начислениям общецеховые и общезаводские расходы) в модель не включают и вычитают из целевой функции, полученной на ЭВМ. Если в качестве неизвестных принята длительность работы установки по каждому варианту, то рассчитывают переменные затраты на один день ее работы.  

Условие (4,56) характеризует целевую функцию, те максимальную разность между оптовой ценой и себестоимостью товарных бензинов.  

В качестве целевой функции при решении данной задачи может быть как максимум прибыли по предприятию (4.52), так и максимум объема производства товарной продукции в стоимостном выражении (4.53)  

Приведенная модель расчета себестоимости является одновременно и моделью расчета прибыли предприятия. Однако основной эффект реализации расчета себестоимости на ЭВМ состоит в возможности использования результатов этого расчета для оптимизации производственной программы предприятия . В данном случае в качестве целевой функции может быть принят максимум прибыли от реализации продукции . Оптимизируя производственную программу , необходимо максимизировать функцию вида  

Преимущества и недостатки структуры, ориентированной на покупателя, в общем те же, что и у продуктовой структуры , если учесть различия, связанные с разной целевой функцией.  

Так как интегральную энергоемкость определяют с учетом энергозатрат прямых и опосредованных (через материальные, технические и трудовые ресурсы), то и в суммарной народнохозяйственной экономии учитывают снижение энергоемкости каждого из расходуемых и используемых ресурсов. Энергоемкость каждого целевого эффекта (продукта, услуги) рассчитывают как сумму энергоемкостей по стадиям его формирования. Например, энергоемкость трубы складывается из энергоемкости добычи руды, выплавки стали, проката листа и собственно изготовления трубы и измеряется в килограммах условного топлива на 1 руб. ее стоимости. Существующие формы учета и предложенная методика позволяют определить эти показатели для любого продукта, услуги и т.д. Таким образом, для экономии энергии необходимо снизить расход производственных ресурсов всех видов при достижении заданного целевого эффекта. Эти ресурсы и конечный целевой эффект измеряют в стоимостном выражении. Затраты на них зависят от масштаба применяемой технологии, уровня срвершенства технических средств , в которых реализуется главная целевая функция - целевой технологический процесс , числа масштабности и разветвленности вспомогательных функций, обеспечивающих выполнение главной функции, а также уровня применяемой техники и технологии.  

Выражение (I) обычно наз. исходной системой уравнений и неравенств, а выражение (II) - функционалом задачи линейного программирования или целевой функцией. Целевая функция является критерием оптимальности . Первая группа неравенств системы (I) позволяет учесть в расчете ограничения в существующих на начало планируемого периода мощностях топливодобывающих предприятий. Вторая группа неравенств учиты-  

К М. м. в з. и. относят след, разделы прикладной математики математическое программирование , теорию игр, теорию массового обслуживания , теорию расписании , теорию управления запасами и теорию износа п замены оборудования . М а т е м а т и ч. (или оптимальное) п р о г р а м м н р о в а н и о разрабатывает теорию и методы решения условных экстремальных адач, является осн. частью формального аппарата анализа разнообразных задач управления , планирования и проектирования. Играет особую роль в задачах оптимизации планирования нар. х-ва и управления нронз-вом. Задачи планирования экономики п управления техникой сводятся обычно к выбору совокупности чисел (т. н. параметров управления), обеспечивающих оптимум пек-рой функции (целевой функции пли показателя качества решения) при ограничениях вида равенств и неравенств, определяемых условиями работы системы . В зависимости от свойств функций, определяющих показатель качества и ограничения задачи, математич. программирование делится на линейное и нелинейное. Задачи, и к-рых целевая функция - линейная, а условия записываются в виде линейных равенств и неравенств, составляют предмет линейного программа-ронпии.ч. Задачи, в к-рых показатель качества решения или нек-рые из функций, определяющих ограничения, нелинейны, относятся к н е л и н е и н о м у п р о-г р а м м и [) о н а н п го. Нелинейное программирование , в свою очередь, делится на выпуклое и невынуклое программирование. В зависимости от того, являются лп исходные параметры, характеризующие условия задачи, вполне определёнными числами или случайными величинами , в математич. программировании различаются методы управления и планирования в условиях полной и неполной информации . Методы постановки и решения условных экстремальных задач , условия к-рых содержат случайные параметры, составляют предмет с т о х а с т и ч о с к о г о п р о г р а м м и р о в а-  

Цель модели - максимизация суммарного дисконтированного чистого дохода (до на-огов) для совокупности месторождений и газопроводных систем при заданных ехнологических и экономических ограничениях. Модель позволяет использовать льтернативные критерии - минимизации взвешенной суммы отклонений от заданного начения целевой функции (целевое программирование) расчеты могут проводиться ля заданного уровня инвестиций, для заданного уровня добычи, для заданного начения ДЧД.  

Успех такой деловой женщины зависит от того, насколько администрацией будутугаданы возможные поприща, способные дать удовлетворение трудом. Замечено, что женщины хорошо справляются с функциями, требующими общения с людьми, если же это еще и интеллектуальная деятельность -учительница, журналист, экскурсовод и т. п. - то высокая эффективность их труда и положительная ими самими оценка почти наверняка совпадут. В Японии женщинам редко удается получить инженерное, естественно-научное образование, особенно по современным, наиболее перспективным специальностям, тем не менее их включение в широко распростра-няющиеся подвижные целевые группы по решению нестандартных задач оказывается продуктивным. Изобретательность женского ума замечена давно и во всех странах. В Японии же, когда хотят привести яркое тому доказательство, вспоминают конкурс, объявленный известной фирмой "Адзи-но мото". Она предложила большой денежный приз за подсказку, как увеличить продажи, выпускаемой ею приправы, с виду похожей на соль и продаваемой в подобии солонок. Люди писали трактаты, привлекали всевозможные научные знания. Но победительницей стала домохозяйка, ответ которой уместился в одной строке "Сделать покрупнее дырки у солонки".  

Целевая функция представляет собой функцию с некоторыми переменными, от которых непосредственно зависит достижение оптимальности. Также она может выступать в качестве нескольких переменных, которые характеризуют тот или иной объект. Можно сказать, что, по сути, она показывает, как мы продвинулись в достижении поставленной задачи.

Примером таких функций может выступать расчет прочности и массы конструкции, мощности установки, объема выпуска продукции, стоимости перевозок и другие.

Целевая функция позволяет ответить на несколько вопросов:

Выгодно или нет то или иное событие;

В правильном ли направлении идет движение;

Насколько верно сделан выбор и т.д.

Если мы не имеем возможности влиять на параметры функции, то, можно сказать, что и сделать мы ничего не можем, разве что только проанализировать и все. Но чтобы быть в состоянии что-то изменить, обычно существуют изменяемые параметры функции. Главная задача - это изменить значения на те, при которых функция станет оптимальной.

Целевые функции не всегда могут быть представлены в виде формулы. Это может быть таблица, например. Также условие может быть в виде нескольких целевых функций. Например, если требуется обеспечить максимальную надежность, минимальные затраты и минимальную материалоемкость.

Задачи на оптимизацию должны иметь важнейшее исходное условие - целевую функцию. Если мы ее то можно считать, что оптимизации не существует. Иными словами, если нет цели, то и нет путей ее достижения, а тем более выгодных условий.

Задачи на оптимизацию бывают условными и безусловными. Первый вид предполагает ограничения, то есть определенные условия при постановке задачи. Второй вид состоит в том, чтобы отыскать максимум или при существующих параметрах. Зачастую такие задачи предполагают поиск минимума.

В классическом понимании оптимизации подбираются такие значения параметров, при которых целевая функция удовлетворяет желаемым результатам. Также ее можно обозначить как процесс подбора самого лучшего варианта из возможных. Например, выбрать лучшее распределение ресурсов, вариант конструкции и т.д.

Существует такое понятие, как неполная оптимизация. Она может образоваться по нескольким причинам. Например:

Число попавших в максимальную точку систем ограничено (уже установлена монополия или олигополия);

Нет монополии, но отсутствуют ресурсы (недостаток квалификации на каком-либо конкурсе);

Отсутствие самой а точнее «незнание» ее (мужчина мечтает о некой красивой женщине, но неизвестно, существует ли такая в природе) и т.д.

В условиях рыночных отношений управления сбытовой и производственной деятельностью фирм и предприятий основой принятия решений является информация о рынке, а обоснованность этого решения проверяется уже при выходе на рынок с соответствующим товаром или услугой. В таком случае отправной точкой является изучение потребительского спроса. Для нахождения решений устанавливается целевая функция потребления. Она показывает количество потребляемых благ и степень удовлетворения потребностей потребителя, а также зависимость между ними.