Определить и построить линии уровня функции. Функции нескольких переменных
Инструкция
При построении линий уровня исходите из того, что они являются проекциями на плоскость с нулевой аппликатой линий пересечения графика заданной функции с некоторой горизонтальной плоскостью. Аппликата этой плоскости сечения и является константой, к которой нужно приравнять уравнение функции, чтобы получить координаты точек линии. Она может меняется с заданным в условиях задачи шагом, если построить требуется набор линий. А если построить нужно всего одну линию уровней, в условиях могут быть даны координаты точки лежащей на ней. Графики с этой страницы можно сохранить или отредактировать в интерактивном режиме.
Приведите заданную в условиях задачи функцию к виду f(x,y) = const. Например, если дана z = x² + y² - 4*y, ее можно записать в альтернативной форме, чтобы лучше представить форму графика функции, и приравнять к константе c: c+4 = x²+(y-2)². Объемный график такой функции представляет собой бесконечный , а все его сечения горизонтальной плоскостью, поднятой на разные , (т.е. искомые линии уровней) будут концентрическими кругами с радиусом, определяемым по формуле √(c+4).
Подставьте вместо константы c заданное в условиях значение для линии уровня. Если оно не дано - выберите сами, исходя из области значений функции. Например, для приведенного выше примера минимальным значением константы может быть число -4. Константу можно приравнять к 5 и в этом случае графиком функции будет круг с радиусом √(5+4) = 3 и центром в точке с абсциссой, равной 0 и ординатой, равной 2.
Если нужно построить несколько линий уровней, повторите предыдущий шаг нужное число раз.
В интернете можно найти сервисы, которые помогут с построением линий уровней. Например, ниже приведена ссылка на сервис WolframAlpha. В поле ввода на его странице введите формулу функции и щелкните по кнопке со значком равенства. Использованную в примере функцию z = x² + y² - 4*y надо вводить в таком виде: x^2+y^2-4*y. Через несколько секунд на странице появятся двух- и трехмерные цветные графики с линиями уровней, а также фигуры, описываемой формулой, альтернативные формы ее записи и другие функции, которые можно использовать при построении линий уровней.
Источники:
- Сервис WolframAlpha
Не каждому хочется быть семейным деспотом, но даже самые робкие и самодостаточные люди нуждаются в том, чтобы к их мнению хотя бы прислушивались. Как правильно выстроить линии влияния ? Влиять можно только на того, кто в чем-либо нуждается, поэтому рассмотрим, как использовать потребности партнера для получения от него желаемого, используя пирамиду Маслоу.
Инструкция
В основе сферы потребностей человека лежат потребности , это в первую очередь жажда, голод и половое влечение. Партнеров дрессируют как собаку Павлова при использовании всех методов, но этот метод наименее тонкий. Так, некоторые жены в молодости лишают мужа близких отношений за малейшую провинность, то же делают мужья в более по отношению к , которые не угодили. Однако гораздо эффективнее использовать этот метод положительно, то есть в ответ на уступки дарить любимому пьянящую, феерическую близость.
Выше в иерархии стоит потребность в безопасности. Каждый человек хочет жить комфортно, со стабильным укладом жизни, ничего не опасаясь. Когда обиженная жена вдруг отказывается готовить для мужа, она неосознанно ломает его бытовые привычки, причиняя боль. Это не всегда разумная политика, в негативных ситуациях лучше вести себя нейтрально, а малейшие позитивные изменения вознаграждать любимым блюдом мужа или тем, с которым у вас связаны романтические ассоциации.
Следующие два уровня рассмотрим вместе, потому что они близки по смыслу – это потребности в уважении и любви. Оскорбления больно ранят, а известный вопрос «Ты меня ?» с последующими попытками манипулировать изрядно портят кровь и мужчинам, и женщинам. А ведь на этом уровне многие люди очень зависимы и уязвимы. Поощрение правильного поведения достигается путем искренних похвал, особенно при посторонних, нежных прикосновений и влюбленных взглядов.
Венчает пирамиду потребность в самореализации. Неправильное поведение здесь – высмеивание вкусов, духовных нужд и стремлений любимого. После каждого нужного Вам решения не скупитесь на знаки внимания к творчеству партнера. Это может проявляться в мелочах, например,вы смеетесь над его удачными шутками и пересказываете их другим людям со ссылкой на автора. Также хорошо создавать любимому человеку условия для творчества в той сфере, где он действительно талантлив.
Конечно, можно добиваться поставленных задач путем лишения партнера необходимого. Но по-настоящему укрепить и обогатить отношения можно только стараясь удовлетворить потребности близкого человека по высшему классу. Беззаветная и неэгоистичная любовь поможет Вам угадать, в отдельно взятой ситуации.
Видео по теме
Обратите внимание
Пользуясь свойством линейности задачи, соединяем эти точки так называемой переходной прямой. Линия влияния, составленная из двух построенных ветвей графика S3−4 (x) и переходной прямой образуют линию влияния усилия S3−4 , означающую зависимость этого усилия от места положения единичной нагрузки (рис. 97). Строим линию влияния усилия в стойке 3-8 при движении единичного груза понизу.
Источники:
- Кинематический метод построения линий влияния в балке в 2019
Мир, который нас всех окружает, имеет три измерения, а вот лист бумаги или холст, на котором мы пытаемся изобразить окружающую реальность, увы, всего-навсего двухмерный. Для того, чтобы изображаемые нами объекты казались максимально объёмными и реалистичными, нужно соблюдать определенные правила и верно выстраивать перспективу .
Вам понадобится
- лист бумаги, карандаш, линейка
Инструкция
Далее определяем, где относительно линии горизонта будет располагаться предмет. Если он находится на уровне глаз (то есть на линии горизонта), то мы смотрим на предмет прямо. Если предмет выше линии горизонта, мы смотрим на него снизу, соответственно, в этом случае становится видно нижнюю часть . Если же предмет поместить ниже линии горизонта, то видимой окажется верхняя часть. Строим предмет, проверяем при помощи линейки, чтобы все параллельные линии сходились в одной точке.
Видео по теме
Обратите внимание
Также при построении преспективы нужно помнить не только о том, что все параллельные прямые сходятся в одной точке, но и о том, что по мере удаления все изображаемые предметы уменьшаются. Сильно удаленные предметы и вовсе превращаются в точки.
В последнее время кровельные материалы с прозрачным покрытием все чаще используются при строительстве гаражей. Преимущество прозрачной крыши состоит в том, что она пропускает большое количество дневного света, а уровень освещения позволяет работать без дополнительного искусственного освещения.
Вам понадобится
- - рулетка;
- - фломастер;
- - дрель;
- - шурупы;
- - шуруповерт;
- - прозрачный пластик;
- - уплотнительные кольца;
- - герметик;
- - профилированный пенопласт.
Инструкция
Замерьте крыши с помощью рулетки. Разметьте кровельное покрытие так, чтобы его листы ложились внахлест. Ширина нахлеста – полтора сантиметра. Отметьте линию среза цветным фломастером. Учтите, что торец должен примыкать к кромке под углом 90 градусов.
Просверлите в листах пластика отверстия под шурупы. Диаметр отверстия должен быть больше диаметра метизов на 4 мм. Закрепите на с помощью шурупов. Крепления должны находиться на каждом втором гребне рельефного листа. Пластик – достаточно хрупкий материал, поэтому в процессе его крепления ограничьте механическое воздействие. Рекомендуется использовать – шуруповерт.
При монтаже кровельного покрытия необходимо установить уплотнительные кольца и пластмассовые колпачки между и стенами. В качестве дополнительного уплотнителя можно использовать профилированный , который крепится с помощью шурупов в сквозных отверстиях.
Видео по теме
Обратите внимание
Крыша гаража будет смотреться правильно и красиво лишь в том случае, если стропильные рамы имеют одинаковую форму и правильно выставлены. Поэтому при производстве подготовительных и кровельных работ следует использовать шаблоны. В качестве такого шаблона используется первая сборная рама.
Полезный совет
Чтобы в процессе резки прозрачное покрытие не смещалось, его нужно зажать инструментом, используя деревянные дощечки в качестве прокладок. Пластиковое кровельное покрытие лучше резать пилой с мелкими зубьями. Инструмент нужно слегка наклонить и работать им без нажима. В противном случае ножовочное полотно заклинит.
Источники:
- Устройство разных видов крыш гаражей в 2019
С наступлением лета хочется изменить свой гардероб, добавить в него новые краски и фасоны. Не обязательно для этого идти в магазин - некоторые модели одежды можно сшить самостоятельно. Одним из самых простых в изготовлении предметов одежды по праву считается сарафан. Достаточно выбрать хорошую легкую ткань, сделать выкройку и сшить все детали вместе.
Вам понадобится
- - бумага;
- - карандаш;
- - сантиметровая лента;
- - линейка;
- - ножницы.
Инструкция
Возьмите сантиметровую ленту и измерьте следующие расстояния: ДСП – длина спины до талии, ДСБ – длина спины до бедер, ПГ – расстояние от плеча до верхней точки груди, ОТ – объем талии, ОБ – объем бедер, ОГ – объем груди, ВТ – расстояние между верхними точками груди, ДИ – длина изделия (от плеча до подола).
Возьмите большой лист бумаги (лучше специальной бумаги для выкроек с миллиметровой разметкой) и начертите прямоугольник, длина которого равна ДИ, а ширина равна четверти ОГ. Если ваш объем бедер больше, чем объем груди, ширина прямоугольника должна быть равна четверти ОБ. Это будет половинка переда. Cразу отметьте одну из вертикальных сторон как середину.
Найдите линию талии, груди и бедер. Для этого от верхней границы прямоугольника отмерьте расстояния, равные ПГ, ДСТ, и ДСБ и проведите на этом уровне горизонтальные линии.
Найдите верхнюю точку груди. Для этого по линии груди от середины переда отмерьте половину ВТ. Проведите от этой точки вертикальную черту через весь прямоугольник.
В месте пересечения этой черты с линией талии сделайте вытачку, для этого вправо и влево от точки пересечения отложите по 2 – 4 см. Соедините эти две точки с верхней точкой груди и с линией бедер. У вас должен получиться длинный вертикальный ромб. Вторую вытачку сделайте вдоль бокового шва (получится половина ромба).
Оформите верхнюю часть сарафана по своему желанию в виде буквы «Л». Можете сделать круглый, треугольный или прямой вырез. Пройму сделайте низкую или высокую, в зависимости от вашей фигуры. На вершине буквы «Л» (на пересечении проймы и выреза) закрепите бретели.
Таким же образом постройте выкройку спинки. Отличие спинки от переда в том, что верхняя часть будет просто горизонтально срезана, по высоте пересечения линии проймы с боковой линией.
Вырежьте детали выкройки сарафана и приступайте к шитью.
Подмостки – это площадки возле береговой линии, как будто парящие над водой.
Обычно они деревянные и представляют собой продолжение садовой тропинки. На подмостки можно поставить деревянную беседку или скамейку, сидя на которой приятно ловить рыбу или просто любоваться прудом. А если в водоеме можно купаться, то более удобного места для ныряний не найти.
Проектирование и установка подмостков – интересная и творческая задача:
1. Сначала устанавливаются сваи, их можно сделать из металлической трубы (100х100 мм),
2. Затем к ним крепится деревянная или металлическая рама, к которой уже крепятся доски настила. Между ними для вентиляции древесины оставляются зазоры.
3. На берегу через каждые три метра, сооружаются фундаментные столбы, на которые опирается настил. Они должны возвышаться над водой на 20-30 см., учитывая то, что в периоды дождей уровень воды повышается. По мнению специалистов, подмостки делаются не больше 25% от зеркала воды.
При обработке данных в предметных областях, связанных с научной деятельностью, часто возникает необходимость в построении и визуализации функции двух независимых переменных. Типичным примером является необходимость визуального представления результатов решения двумерных дифференциальных уравнений в частных производных, получаемых в виде так называемых сеточных функций.
Предлагается простой класс для построения линий уровня (изолиний) функции: Z=F(X,Y) в виде линий на плоскости X-Y, удовлетворяющих уравнениям Z=const (где const - набор заданных значений).
Предполагается, что функция Z задана в виде массива z на произвольной сетке с четырехугольными ячейками. Сетка задается двумя массивами x, y, где J и K размеры сетки.
Значения функции определены в углах четырехугольной ячейки. В каждой ячейке проверяется прохождение рассчитываемой линии уровня через ее грани и, при условии, что линия проходит через ячейку, вычисляются координаты пересечения линии уровня с гранями. Внутри ячейки линия проводится прямолинейным отрезком.
Исходный текст снабжен подробными комментариями.
Файл LinesLevels.cs:
Using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Windows;
namespace WpfLinesLevels
{
public class LinesOfLevels
{
private int J, K;
private double[,] X;
private double[,] Y;
private double[,] Z;
// Список изолиний
public List
Для демонстрации работы класса предлагается небольшое тестовое приложение WPF, которое строит линии уровня для функции вида: z = x^2 + y^2 на сетке 10 на 10.
Файл MainWindow.xaml:
И файл кода MainWindow.xaml.cs:
Using System.Linq;
using System.Windows;
using System.Windows.Controls;
using System.Windows.Media;
using System.Windows.Shapes;
namespace WpfLinesLevels
{
///
Результат работы тестового примера представлен на рисунке.
Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня.Семинар 21
Определение 1Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных
величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует
определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых
переменных x,y, определенных в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Определение 2
Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция
z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой
функции.
Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости
OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку
, лежащую в
области G или на ее границе.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к
точке
, если для каждого числа
найдется такое число r>0, что
для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство
имеет
место неравенствоОпределение 4
Пусть точка
принадлежит области определения функции f(x,y).
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке
, если имеет место
равенство
(1)
Причем точка M(x,y) стремится к точке
произвольным образом,
оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Если в некоторой точке
не выполняется условие (1), то точка
называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не
выполняться, например, в следующих случаях:
1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки
,
за исключением самой точки
.
2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
, но не
существует
3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
и
существует
, но
Определение 5
Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости
OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.Определение 6
Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность u=f(x,y,z)=с
плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция принимает действительные значения при условии
или
, т. е. областью определения данной функции является круг радиуса
а с центром в начале координат, включая граничную окружность.
2. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция определена, если
Областью определения
функции является плоскости, заключенная между двумя параболами
, за исключением точки О(0,0).
3. Найти область определения функции
.
Решение.
Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные
значения при
, т. е. область определения –
часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного
гиперболоида.4. Найти линии уровня функции
Решение.
Уравнение семейства линий уровня имеет вид
.
Придавая С различные действительные значения, получим концентрические
окружности с центром в начале координат.
5. Найти поверхности уровня функции
Решение.
Уравнение семейства поверхностей имеет вид
.
Если С=0, то получаем
- конус.
Если С>0, то получаем
- семейство однополостных
гиперболоидов;
Если С<0, то получаем
- семейство двуполостных гиперболоидов;
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти области определения функции
2. Найти линии уровня функций:
∙ проходит через одну точку на плоскости параллельно прямой, параллельной этой плоскости.
Пример построения прямой на плоскости (Рис. 3.12): |
||||
Рис. 3.12 Задача: построить на плоскости АВС прямую, заданную |
||||
фронтальной проекцией | ||||
3.4 Главные линии плоскости
Для решения многих задач начертательной геометрии используют линии частного положения – линии уровня .
Линии уровня , это линии на плоскости, параллельные ПП. Линия, параллельная горизонтальной ПП –горизонтал ь, Фронтальной –фронталь , Профильной ПП –профильная лин ия.
Так как линии уровня параллельны своим плоскостям проекций, на других ПП их проекции будут параллельны осям координат. Например, фронтальная проекция горизонтали параллельна оси х 12 .
Примеры построения линий уровня: ∙ Горизонталь h (Рис. 3.13);
h 11 1
Рис. 3.13 Горизонталь на плоскости
Если плоскость задана следами, линии уровня h иf будут параллельны следам на своих плоскостях проекции: горизонтали горизонтальным следам, фронтали фронтальным следам и т.д. (Рис. 3.14). По сути, след плоскости является линией уровня, бесконечно близкой плоскости проекции.
f 1≡ h 2 |
|||
Рис. 3.14 Линии уровня плоскости, заданной следами
3.5 Точка на плоскости
Точка лежит на плоскости, если она принадлежит любой прямой на этой плоскости. Таким образом, для построения точи на плоскости необходимо сначала построить вспомогательную прямую на плоскости такую, чтобы она проходила через заданную проекцию искомой точки и, затем, найти точку на построенной вспомогательной линии вдоль линии связи.
Примеры построения точки на плоскости (Рис. 3.15):
D1 - ? |
||
D1 - ? | ||
Рис. 3.15 Точка на плоскости
Построение точки на плоскости, заданной следами.
Если плоскость задан следами, в качестве линий, принадлежащих плоскости, с помощью которых проверяется принадлежность точки плоскости, используются линии уровня, которые легко строить, проводя параллельно заданным следам (Рис. 3.16). При этом следует помнить, что проекция точки, принадлежащей следу плоскости, на другой плоскости проекций окажется на оси, разделяющей плоскости проекций (см. (.)1 ).
f 1≡ h 2 |
||||
Рис. 3.16 Использование линий уровня для построения очки на плоскости, заданной следами
Тема 4 Взаимное положение геометрических фигур: прямая и плоскость, две плоскости.
Прямая и плоскость, а также две плоскости могут быть:
∙ параллельны друг другу,
∙ пересекаться,
∙ перпендикулярны друг другу.
4.1 Параллельные фигуры
4.1.1 Прямая, параллельная плоскости
Пример 1 (Рис. 4.1). Есть плоскость Σ(a Ç b).
Задана (.)A и фронтальная проекцияl 2 прямой. Провести через(.)A прямую, параллельную плоскостиΣ
A 2l 2
Рис. 4.1 Построение прямой, параллельной плоскости
Пример 2. Через (.)А провести горизонталь, параллельную плоскости
Σ(ABC) (Рис. 4.2).
Рис. 4.2 Горизонталь, параллельная плоскости
4.1.2 Взаимно параллельные плоскости
Две плоскости взаимно параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (Рис. 4.3).
a // d | ||||||||
ý Þ a // d |
||||||||
a 2// d 2þ | ||||||||
b // c | Þ b// c |
|||||||
b 2// c 2þ | ||||||||
пл .Q (a Ç b ) //пл .D (с //в ) |
||||||||
Рис. 4.3 Взаимно параллельные плоскости
В качестве пересекающихся линий могут быть выбраны линии |
|||||
частного положения. Отсюда: | |||||
Если одноименные следы двух плоскостей параллельны. То |
|||||
параллельны сами плоскости. | |||||
пл .S (f Ç h ) //пл .T (f "Ç h ") |
|||||
h ′ | |||||
Рис. 4.4 Параллельные плоскости, | |||||
заданные следами | |||||
Пример 4.3: Через (.)А провести плоскостьΘ параллельно плоскости |
|||||
Γ , заданной двумя параллельными прямыми (Рис. 4.5). | |||||
Рис. 4.5 Параллельные плоскости | |||||
Техника построения:
1. На плоскости Г, используя прямуюа выбирается произвольная вспомогательная точка1 .
2. Через (.) 1 проводятся две произвольные прямыеl иk так, чтобы они пересекли другую прямую, задающую плоскость – линиюb .
3. Через заданную точку А проводят две прямыеm иn , параллельные соответственно вспомогательным прямымl иk . Эти две
пересекающиеся прямые l иk зададут искомую плоскостьQ , параллельную заданной плоскостиГ .
Пример 4.4: Через (.)А провести | плоскость | параллельно |
|||||||||||||||||||||||||
фронтально-проектирующей плоскостиΣ (m ||n ) (Рис. 4.6). |
|||||||||||||||||||||||||||
≡ l 2 |
|||||||||||||||||||||||||||
Рис. 4.6 Параллельные плоскости
Техника построения:
1. На фронтальной ПП через фронтальную проекцию А 2 заданной точкиА проводится прямаяА 2 С 2 ||m 2 ≡ n 2 . Эта прямая будет фронтальным следом искомой плоскостиD . Плоскость, параллельная фронтально-проектирующей плоскости должна быть сама фронтально-проектирующей плоскостью!
2. На горизонтальной ПП выбираются произвольно две точки В 1 и
С1 .
3. Фронтальные проекции В 2 иС 2 точекВ иС ищутся вдоль линий связи на построенном следе искомой плоскостиD .
NB ! Несмотря на то, что точкиВ иС были выбраны на горизонтальной ПП произвольно, плоскость, задаваемая точкамиАВС будет параллельной заданной фронтально-проектирующей плоскости потому, что на фронтальной ПП точкиАВС располагаются на одной линии, параллельной фронтальному следу заданной плоскостиΣ .
4.2 Пересечение прямой и плоскости. Точка пересечения
Рассмотрим частный случай, когда необходимо найти (.)K пересечения прямой общего положенияl и горизонтальнопроектирующей плоскостиΣ .
Пример 4.9: Построить точку пересечения прямой l c горизонтальнопроектирующей плоскостьюΣ (Рис. 4.7):
å ^ П 1 |
|
Рис. 4.7 Пересечение прямой с проектирующей плоскостью
Построение весьма простое. Так как проектирующая плоскость Σ обладает собирательным свойством, точка ее пересечения с линиейl
находится как точка пересечения горизонтального следа Σ 1 плоскости и горизонтальной проекцииl 1 линии. Фронтальная проекция точки пересечение найдена вдоль линии связи.
Для построения точки пересечения произвольной прямой с плоскостью общего положения в качестве вспомогательного элемента следует использовать вспомогательные проектирующие плоскости.
Пример 4.10: Построить точку пересечения прямой m с плоскостью
(a Ç b) (Рис. 4.8).
å ^ П 2 ; å º m |
||||||||||||||||||||||||||
å Ç D(aÇb) => l |
||||||||||||||||||||||||||
l1 11
Рис. 4.8 Пересечения прямой с плоскостью
Для построения использована вспомогательная фронтальнопроектирующая плоскость Σ , проходящая через линиюm .
Линия l пересечения плоскостейΣ Ç лежит в одной плоскости с прямойm , так как вспомогательная плоскость специально была проведена через прямуюm . Следовательно, находясь в одной плоскости, прямыеl иm , если они пересекутся, дадут точку, которая будет искомой точкой пересечения заданных прямойm и плоскости
Если прямые l иm окажутся параллельными, это будет означать, что заданные прямаяm и плоскость – параллельны.
Пересечение двух плоскостей. | ||||
Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно |
||||
найти две любые точки этой линии, либо одну точку и направление |
||||
линии пересечения. | ||||
Если ищется линия пересечения двух плоскостей, одна из которых |
||||
проектирующая, линия пересечения определяется простейшими |
||||
построениями. | ||||
Пример 4.5: Построить линию пересечения плоскости | Заданной |
|||
двумя прямыми l ||m и горизонтальной плоскостью уровняΣ (Рис. |
||||
S 2≡ S 2 | ||||
Рис. 4.9 Пересечение плоскостей | ||||
NB ! Линия пересечения принадлежит горизонтальной плоскости уровняΣ , поэтому является горизонталью.
Простота построения линии пересечения плоскостей общего положения с плоскостями частного положения дает удобный инструмент построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.
Рис. 4.10 Вспомогательные секущие плоскости
Таким инструментом являются вспомогательные секущие плоскости частного положения, например, плоскости уровня (Рис. 4.10).
Для построения линии пересечения плоскостей Φ иΘ использованы две горизонтальные плоскостиГ" иГ"" . Точки пересеченияM иN
пар линий a"
S "X lX m
Рис. 4.11 Построение линии пересечения плоскостей
Для построения использованы горизонтальные плоскости Σ" иΣ"".
Пример 4.7: Построить линию пересечения плоскости Φ(ABC) 6
5 1X 6 1
Рис. 4.12 Построение линии пересечения плоскостей
Для построения используются вспомогательные фронтально проектирующие плоскости " и"" , которые на фронтальной ПП проходят по фронтальным проекциям параллельных прямыхl иm , задающих плоскостьТ . Вспомогательная плоскость" пересекает заданную плоскостьΦ(ABC) по линии12 . Горизонтальная проекция этой прямой пересекает горизонтальную проекцию прямойl в точкеЕ 1 . Эта точка ищется на фронтальной ПП вдоль линии связи. ТочкаЕ является общей для плоскостиΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Таким образом, эта точка является одной из точек линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Также найдена точкаF пересечения плоскости"" с прямойm . ТочкаF также является точкой линии пересечения плоскостейΦ(ABC) иΤ(l ||m ). Соединение полученных точекЕ и
h"1 M 1 h 1
Рис. 4.13 Построение линии пересечения плоскостей
Точки линии пересечения, это (.)M пересечения горизонтальных следовh иh" заданных плоскостей и (.)N пересечения фронтальных следовf иf" . Соединение этих точек на соответствующих плоскостях проекций дает проекции линии пересечения заданных плоскостей.
Чтобы создать карту линий уровня:
- Определите матрицу значений, которую нужно отобразить графически. Mathcad предполагает, что строки и столбцы представляют значения аргументов некой функции, равномерно располагаемые на осях координат. Затем Mathcad линейно интерполирует значения этой матрицы, чтобы сформировать линии одинакового уровня. Такие изолинии могут представлять изотермы, изобары, эквипотенциальные линии, линии тока или иметь иной физический смысл.
- Выберите Карта линий уровня изCreate Contour Plot command меню Графика . Mathcad покажет прямоугольник с одним полем ввода, как на Рисунке 1.
- Напечатайте имя матрицы в поле ввода. Как и при работе с выражением, Mathcad не создаст карту линий уровня, пока Вы не нажмете , или, в автоматическом режиме, не щёлкните вне области графика.
Рисунок 1: Пустое поле ввода отведено для имени матрицы.
Построенный график изображает линии, вдоль которых функция, значения которой представлены элементами матрицы, принимает постоянные значения. Поскольку разные линии соответствуют разным значениям, то они не пересекаются. При построении графика матрица ориентируется таким образом, что её (0.0) элемент соответствует нижнему левому углу графика, строки матрицы соответствуют постоянным значениям по оси ординат, а столбцы соответствуют постоянным значениям по оси абсцисс.
Форматируя чертёж, можно установить, должны ли проставляться значения функции на соответствующих им линиях уровня, насколько частыми они должны быть, и какие надписи и линии сетки появятся на осях. Всё это описано ниже в разделе “Форматирование карты линий уровня ”.
Линии уровня функции двух переменных
Ниже приведены стандартные этапы в создании карты линий уровня функции двух переменных, показанной на Рисунке 2:
- Определите функцию двух переменных.
- Решите, сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введите дискретные аргументы i и j , чтобы индексировать эти точки. Например, если необходимо использовать 10 точек в каждом направлении, введите:
i:= 0 ..9 j:= 0 ..9
- Определите x i и y j как равномерно располагаемые точки на осях x и y .
- Заполните матрицу M значениями f(x i , y j).
- Отобразите M в виде карты линий уровня.
Рисунок 2: Карта линий уровня функции двух переменных.
Обратите внимание, что в данном случае ось x графика идет направо, а ось y направлена вверх. Так как карта линий уровня создается помещением значений функции в матрицу, Mathcad не знает истинных значений x и y . По этой причине оси на карте линий уровня по умолчанию нормированы так, что координаты изменяются от -1 до 1. Можно вручную установить границы на осях вместо этих значений по умолчанию, выбрав Формат 3D графика из меню Графика при выделенной карте линий уровня, или двойным щелчком на графике. Затем установите необходимые значения в полях “Мин” и “Макс” на странице “Оси”.
Поиск
Мы можем оповещать вас о новых статьях,