Среда MATLAB включает интерпретатор команд на языке высокого уров­ня, графическую систему, пакеты расширений и реализована на языке C. Вся работа организуется через командное окно (Command Window), которое появля­ется при запуске программы matlab.exe. В процессе работы данные располага­ются в памяти (Workspace), для изображения кривых, поверхностей и других графиков создаются графические окна.

В командном окне в режиме диалога проводятся вычисления. Пользова­тель вводит команды или запускает на выполнение файлы с текстами на языке MATLAB. Интерпретатор обрабатывает введенное и выдает результаты: число­вые и строковые данные, предупреждения и сообщения об ошибках. Строка ввода помечена знаком >>. В командном окне показываются вводимые с кла­виатуры числа, переменные, а также результаты вычислений. Имена перемен­ных должны начинаться с буквы. Знак = соответствует операции присваивания. Нажатие клавиши Enter заставляет систему вычислить выражение и показать результат. Наберите с клавиатуры в строке ввода:

Нажмите клавишу Enter, на экране в зоне просмотра появится результат вычисления:

Все значения переменных, вычисленные в течение текущего сеанса рабо­ты, сохраняются в специально зарезервированной области памяти компьютера, называемой рабочим пространством системы MATLAB (Workspace). Коман­дой clc можно стереть содержимое командного окна, однако это не затронет содержимого рабочего пространства. Когда исчезает необходимость в хранении ряда переменных в текущем сеансе работы, их можно стереть из памяти ком­пьютера командой clear или clear(имя1, имя2, ...). Первая команда удаляет из памяти все переменные, а вторая - переменные с именами имя1 и имя2. Коман­дой who можно вывести список всех переменных, входящих в данный момент в рабочее пространство системы. Для просмотра значения любой переменной из текущего рабочего пространства системы достаточно набрать ее имя и нажать клавишу Enter.

После окончания сеанса работы с системой MATLAB все ранее вычислен­ные переменные теряются. Чтобы сохранить в файле на диске компьютера со­держимое рабочего пространства системы MATLAB, нужно выполнить коман­ду меню File / Save Workspace As ... .По умолчанию расширение имени файла mat, поэтому такие файлы принято называть МАТ-файлами. Для загрузки в па­мять компьютера ранее сохраненного на диске рабочего пространства нужно выполнить команду меню: File / Load Workspace ... .

Вещественные числа и тип данных double

Система MATLAB представляет на машинном уровне все действительные числа заданные мантиссой и показателем степени, например, 2.85093Е+11, где буквой Е обозначается основание степени равное 10. Этот основной тип дан­ных носит название double. MATLAB по умолчанию использует формат short для вывода вещественных чисел, при котором показываются только четыре де­сятичных цифры после запятой.

Введите с клавиатуры пример:

» res=5.345*2.868/3.14-99.455+1.274

Получите результат вычисления:

Если требуется полное представление вещественного числа res, введите с клавиатуры команду:

нажмите клавишу Enter и получите более подробную информацию:

res = -93.29900636942675

Теперь все результаты вычислений будут показываться с такой высокой точностью в течение данного сеанса работы в среде системы MATLAB. Если требуется до прекращения текущего сеанса работы вернуться к старой точности визуального представления вещественных чисел в командном окне, нужно вве­сти и исполнить (нажав клавишу Enter) команду:

Целые числа показываются системой в командном окне в виде целых чисел.

Над вещественными числами и переменными типа double производятся арифметические операции: сложения +, вычитания -, умножения *, деления / и возведения в степень ^ . Приоритет в выполнении арифметических операций обычный. Операции одинакового приоритета выполняются в порядке слева на­право, но круглые скобки могут изменить этот порядок.

Если нет необходимости видеть в командном окне результат вычисления некоторого выражения, то в конце введенного выражения следует поставить точку с запятой и только после этого нажать Enter.

В системе MATLAB присутствуют все основные элементарные функции для вычислений с вещественными числами. Любая функция характеризуется своим именем, списком входных аргументов (перечисляются через запятую и стоят внутри круглых скобок, следующих за именем функции) и вычисляемым (возвращаемым) значением. Список всех имеющихся в системе элементарных математических функций может быть получен по команде help elfun. В Прило­жении 1 перечислены стандартные функции вещественного аргумента.

Вычислите выражение, включающее вычисление функции арксинус:

Убедитесь, что получился следующий результат:

соответствующее числу «пи». В системе MATLAB для вычисления числа «пи» есть специальное обозначение: pi. (Список системных переменных MATLAB находится в Приложении 2).

MATLAB имеет также логические функции, функции, связанные с цело­численной арифметикой (округления до ближайшего целого: round, усечение дробной части числа: fix). Есть еще функция mod - остаток от деления с учетом знака, sign - знак числа, lcm - наименьшее общее кратное, perms - вычисление числа перестановок и nchoosek - числа сочетаний и много других. Многие из функций имеют область определения, отличную от множества всех действи­тельных чисел.

Помимо арифметических операций над операндами типа double выполня­ются еще операции отношения и логические операции. Операции отношения сравнивают между собой два операнда по величине. Эти операции записывают­ся следующими знаками или комбинациями знаков (Таблица 1):

Таблица 1


В случае истинности операции отношения ее величина равна 1, а в случае ложности - 0. Операции отношения имеют более низкий приоритет, чем ариф­метические операции.

Наберите с клавиатуры выражение с операциями отношения и вычислите

» a=1; b=2; c=3;

» res=(a

Вы получите следующий результат:

Логические операции над вещественными числами обозначаются знаками, перечисленными в таблице 2:

Таблица 2


& | ~
И ИЛИ НЕ

Первые две из этих операций являются бинарными (двухоперандными), а последняя - унарной (однооперандной). Логические операции трактуют свои операнды как «истинные» (не равные нулю) или «ложные» (равные нулю). Ес­ли оба операнда операции «И» истинны (не равны нулю), то результат этой операции равен 1 («истина»); во всех остальных случаях операция «И» выраба­тывает значение 0 («ложь»). Операция «ИЛИ» вырабатывает 0 («ложь») только в случае, когда являются ложными (равными нулю) оба операнда. Операция «НЕ» инвертирует «ложь» на «истину». Логические операции имеют самый низкий приоритет.

Комплексные числа и комплексные функции

Комплексные переменные, как и вещественные автоматически имеют тип double и не требуют никакого предварительного описания. Для записи мнимой единицы зарезервированы буквы i или j. В случае, когда коэффициентом перед мнимой единицей является не число, а переменная, между ними следует обяза­тельно использовать знак умножения. Итак, комплексные числа можно записывать следующим образом:

» 2+3i; -6.789+0.834e-2*i; 4-2j; x+y*i;

Почти все элементарные функции допускают вычисления с комплексны­ми аргументами. Вычислите выражение:

» res=sin(2+3i)*atan(4i)/(1 -6i)

Получится результат:

1.8009 - 1.91901

Специально для работы с комплексными числами предназначены следую­щие функции: abs (абсолютное значение комплексного числа), conj (комплекс­но сопряженное число), imag (мнимая часть комплексного числа), real (дейст­вительная часть комплексного числа), angle (аргумент комплексного числа), isreal («истина», если число действительное). Функции комплексного перемен­ного перечислены в Приложении 1.

В отношении арифметических операций ничего нового для комплексных чисел (по сравнению с вещественными) сказать невозможно. То же самое отно­сится и к операциям отношения «равно» и «не равно». Остальные операции от­ношения вырабатывают результат исходя только из действительных частей этих операндов.

Введите выражение, получите результат и объясните его:

» c=2+3i; d=2i; » c>d

Логические операции трактуют операнды как ложные, если они равны ну­лю. Если же у комплексного операнда не равна нулю хотя бы одна его часть (вещественная или мнимая), то такой операнд трактуется как истинный.

Числовые массивы

Для создания одномерного массива можно использовать операцию конка­тенации, которая обозначается с помощью квадратных скобок . Элементы массива помещаются между скобками и отделяются друг от друга пробелом или запятой:

» al=; d=;

Для доступа к индивидуальному элементу массива нужно применить операцию индексации, для чего после имени элемента указать в круглых скоб­ках индекс элемента.

Можно изменять элементы уже сформированного массива путем примене­ния операций индексации и присваивания. Например, введя:

мы изменим третий элемент массива. Или, после введения:

» al(2)=(al(1)+al(3))/2;

второй элемент массива станет равным среднему арифметическому первого и третьего элементов. Запись несуществующего элемента вполне допустима - она означает добавление нового элемента к уже существующему массиву:

Применяя после выполнения этой операции к массиву а1 функцию length, находим, что количество элементов в массиве возросло до четырех:

Тоже самое действие - «удлинение массива а1» - можно выполнить и с помощью операции конкатенации:

Можно задать массив, прописывая все его элементы по отдельности:

» a3(1)=67; a3(2)=7.8; a3(3)=0.017;

Однако этот способ создания не является эффективным. Еще один способ создания одномерного массива основан на применении специальной функции, обозначаемой двоеточием (операция формирования диапазона числовых значений). Через двоеточие следует набрать первое число диапазона, шаг (приращение) и конечное число диапазона. Например:

» diap=3.7:0.3:8.974;

Если не нужно выводить на экран весь получившийся массив, то в конце набора (после конечного числа диапазона) следует набрать точку с запятой. Чтобы узнать, сколько элементов в массиве, следует вызвать функцию length (имя массива).

Для создания двумерного массива (матрицы) также можно использовать операцию конкатенацию. Элементы массива набираются один за другим со­гласно их расположению в строках, в качестве разделителя строк используется точка с запятой.

Введите с клавиатуры:

» a=

Нажмите ENTER, получим:

Полученную матрицу а размером 3x2 (первым указывается число строк, вторым - число столбцов) можно сформировать также вертикальной конкате­нацией вектор-строк:

» a=[;;];

или горизонтальной конкатенацией вектор-столбцов:

» a=[,];

Структуру созданных массивов можно узнать с помощью команды whos(имя массива), размерность массива - функцией ndims, а размер массива - size.

Двумерные массивы можно задать также с помощью операции индекса­ции, прописывая по отдельности его элементы. Номер строки и столбца, на пе­ресечении которых находится задаваемый элемент массива, указываются через запятую в круглых скобках. Например:

» a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(2,1)=3; » a(2,2)=4; a(3,1)=5; a(3,2)=6;

Однако будет намного эффективнее, если до начала прописывания элементов массива, создать массив нужного размера функциями ones (m,n) или zeros(m,n), заполненный единицами или нулями (m - число строк, n - число столбцов). При вызове этих функций предварительно выделяется память под заданный размер массива, после этого постепенное прописывание элементов нужными значениями не требует перестройки структуры памяти, отведенной под массив. Использование этих функций возможно и при задании массивов других раз­мерностей.

Если после формирования массива Х потребуется, не изменяя элементов массива, изменить его размеры, можно воспользоваться функцией reshape (Х, М, N), где M и N - новые размеры массива Х

Объяснить работу этой функции можно, только исходя из способа, каким система MATLAB хранит элементы массивов в памяти компьютера. Она хра­нит их в непрерывной области памяти упорядоченно по столбцам: сначала рас­полагаются элементы первого столбца, вслед за ними расположены элементы второго столбца и т.д. Помимо собственно данных (элементов массива) в памя­ти компьютера хранится также управляющая информация: тип массива (напри­мер, double), размерность и размер массива, другая служебная информация. Этой информации достаточно для определения границ столбцов. Отсюда сле­дует, что для переформирования матрицы функцией reshape достаточно изме­нить только служебную информацию и не трогать собственные данные.

Поменять местами строки матрицы с ее столбцам можно операцией транс­портирования, которая обозначается знаком." (точка и апостроф). Например,

» A=;

Операция " (апостроф) выполняет транспонирование для вещественных матриц и транспонирование с одновременным комплексным сопряжением для комплексных матриц.

Объекты, с которыми работает MATLAB, являются массивами. Даже од­но заданное число во внутреннем представлении MATLAB является массивом, состоящим из одного элемента. MATLAB позволяет делать вычисления с ог­ромными массивами чисел также легко как и с одиночными числами, и это яв­ляется одним из самых заметных и важных преимуществ системы MATLAB над другими программными пакетами, ориентированными на вычисления и программирование. Помимо памяти, необходимой для хранения числовых эле­ментов (по 8 байт на каждый в случае вещественных чисел и по 16 байт в слу­чае комплексных чисел), MATLAB автоматически при создании массивов вы­деляет еще и память для управляющей информации.

Вычисления с массивами

В традиционных языках программирования вычисления с массивами осу­ществляются поэлементно в том смысле, что нужно запрограммировать каж­дую отдельную операцию над отдельным элементом массива. В М-языке сис­темы MATLAB допускаются мощные групповые операции над всем массивом сразу. Именно групповые операции системы MATLAB позволяют чрезвычайно компактно задавать выражения, при вычислении которых реально выполняется гигантский объем работы.

Операции сложения и вычитания матриц обозначаются стандартными знаками + и -.

Задайте матрицы А и В и выполните операцию сложения матриц:

» A=; B=;

Если используются операнды разных размеров, выдается сообщение об ошибке, за исключением случая, когда один из операндов является скаляром. При выполнении операции А + скаляр (А - матрица) система расширит скаляр до массива размера А, который и складывается далее поэлементно с А.

Для поэлементного перемножения и поэлементного деления массивов одинаковых размеров, а также поэлементного возведения в степень массивов, применяются операции, обозначаемые комбинациями двух символов: .* , ./, и.^. Использование комбинаций символов объясняется тем, что символами * и / обозначены специальные операции линейной алгебры над векторами и матри­цами.

Кроме операции./, называемой операцией правого поэлементного деления, есть еще операция левого поэлементного деления.\. Разница между этими операциями: выражение А./ В приводит к матрице с элементами А (k, m) /В (k, m), а выражение А.\В приводит к матрице с элементами В (k, m) /А (k, m).

Знак * закреплен за перемножением матриц и векторов в смысле линейной алгебры.

Знак \ закреплен в системе MATLAB за решением довольно сложной зада­чи линейной алгебры - нахождением корней системы линейных уравнений. Например, если требуется решить систему линейных уравнений Ay = b, где А - заданная квадратная матрица размера N´N, b - заданный вектор- столбец длины N, то для нахождения неизвестного вектор-столбца у достаточно вычислить выражение А\b (это равносильно операции: A -1 B).

Типичные задачи аналитической геометрии в пространстве, связанные с нахождением длин векторов и углов между ними, с вычислением скалярного и векторного произведений, легко решаются разнообразными средствами систе­мы MATLAB. Например, для нахождения векторного произведения векторов предназначена специальная функция cross, например:

» u=; v=;

Скалярное произведение векторов можно вычислить с помощью функции общего назначения sum, вычисляющей сумму всех элементов векторов (для матриц эта функция вычисляет суммы для всех столбцов). Скалярное произве­дение, как известно, равно сумме произведений соответствующих координат (элементов) векторов. Таким образом, выражение: » sum(u.*v)

вычисляет скалярное произведение двух векторов u и v. Скалярное произведе­ние можно также вычислить как: u*v".

Длина вектора вычисляется с помощью скалярного произведения и функ­ции извлечения квадратного корня, например:

» sqrt(sum(u.*u))

Ранее рассмотренные для скаляров операции отношения и логические опе­рации выполняются в случае массивов поэлементно. Оба операнда должны быть одинаковых размеров, при этом операция возвращает результат такого же размера. В случае, когда один из операндов скаляр, производится его предвари­тельное расширение, смысл которого уже был пояснен на примере арифметиче­ских операций.

Среди функций, генерирующих матрицы с заданными свойствами, часто испольльзуется функция eye , производящую единичные квадратные матрицы, а так­же широко применяемую на практике функцию rand, генерирующую массив со случайными элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1. Например, выражение

порождает массив случайных чисел размером 3х3 с элементами, равномерно распределенными на интервале от 0 до 1.

Если вызвать эту функцию с двумя аргументами, например R=rand(2,3), то получится матрица R случайных элементов размером 2x3. При вызове функции rand с тремя и более скалярными аргументами производятся многомерные мас­сивы случайных чисел.

Определитель квадратной матрицы вычисляется с помощью функции det. Среди функций, производящих простейшие вычисления над массивами, помимо рассмотренной выше функции sum, используется еще и функция prod, ко­торая во всем аналогична функции sum, только вычисляет она не сумму эле­ментов, а их произведение. Функции max и min ищут соответственно макси­мальный и минимальный элементы массивов. Для векторов они возвращают единственное числовое значение, а для матриц они порождают набор экстре­мальных элементов, вычисленных для каждого столбца. Функция sort сортиру­ет в возрастающем порядке элементы одномерных массивов, а для матриц она производит такую сортировку для каждого столбца отдельно.

В MATLAB есть уникальная возможность производить групповые вычисления над массивами, используя обыч­ные математические функции, которые в традиционных языках программиро­вания работают только со скалярными аргументами. В результате с помощью крайне компактных записей, удобных для ввода с клавиатуры в интерактивном режиме работы с командным окном системы MATLAB, удается произвести большой объем вычислений. Например, всего два коротких выражения

» x=0:0.01:pi/2; y=sin(x);

вычисляют значения функции sin сразу в 158 точках, формируя два вектора x и у со 158 элементами каждый.

Построение графиков функций

Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разно­образными. Изучим наиболее простые в использовании возможности (высоко­уровневую графику).

Сформируйте два вектора х и у:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Вызовите функцию:

и вы получите на экране график функции (рис. 1).

Рис. 1. График функции y=sin(x)

MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure. Не убирая с экрана дисплея первое графическое окно, введите с клавиату­ры выражения

и получите новый график функции в том же самом графическом окне (при этом старые оси координат и график пропадают - этого также можно добиться ко­мандой clf, командой cla удаляют только график с приведением осей коорди­нат к их стандартным диапазонам от 0 до 1).

Если нужно второй график провести «поверх первого графика», то перед вторичным вызовом графической функции plot нужно выполнить команду hold on, которая предназначена для удержания текущего графического окна:

» x=0:0.01:2; y=sin(x);

Практически тоже самое получится (рис. 2), если набрать:

» x=0:0.01:2; y=sin(x); z=cos(x);

» plot(x,y,x,z)

Рис. 2. Графики функций y=sin(x), z=cos(x), построенные в одном графи­ческом окне

Если нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, что­бы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Первым решением является построение их в разных графических окнах. Для этого пе­ред вторичным вызовом функции plot следует набрать команду figure, которая создает новое графическое окно и заставляет все последующие за ней функции построения графиков выводить их туда.

Вторым решением показа нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволя­ет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей, в каждую из которых можно вывести графики различных функций.

Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin и cos по­стройте графики этих двух функций в первой подобласти, а график функции exp(x) - во второй подобласти одного и того же графического окна (рис. 3):

» subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)

» subplot(1,2,2); plot(x,w)

Рис. 3. Графики функций y=sin(x), z=cos(x) и w=exp(x), построенные в двух подобластях одного графического окна

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей не­зависимы друг от друга. Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второй равен числу коло­нок подобластей, а третий аргумент - номеру подобласти (номер отсчитывается вдоль рядов с переходом на новый ряд по исчерпании). Снять действие функ­ции subplot можно командой:

» subplot(1,1,1)

Если для одиночного графика диапазоны изменения переменных вдоль од­ной или обеих осей координат слишком велик, то можно воспользоваться функциями построения графиков в логарифмических масштабах. Для этого предназначены функции semilogx, semilogy и loglog.

Построить график функции в полярных координатах (рис. 4) можно с по­мощью графической функции polar.

» phi=0:0.01:2*pi; r=sin(3*phi);

Рис. 4. График функции r=sin(3*phi) в полярных координатах

Рассмотрим дополнительные возможности, связанные с управлением внешним видом графиков - задание цвета и стиля линий, а также размещение различных надписей в пределах графического окна. Например, команды

» x=0:0.1:3; y=sin(x);

» plot(x,y,"r-",x,y, "ko")

позволяют придать графику вид красной сплошной линии (рис. 5), на которой в дискретных вычисляемых точках проставляют черные окружности. Здесь функция plot дважды строит график одной и той же функции, но в двух разных стилях. Первый из этих стилей отмечен как "r-", что означает проведение линии красным цветом (буква r), а штрих означает проведение сплошной линии. Вто­рой стиль, помечен как "ko", означает проведение черным цветом (буква k) ок­ружностей (буква o) на месте вычисляемых точек.

Рис. 5. Построение графика функции y=sin(x) в двух разных стилях

В общем случае функция plot (x1, y1, s1, x2, y2, s2, ...) позволяет объеди­нить в одном графическом окне несколько графиков функций y1(x1), y2(x2), ... проведя их со стилями s1, s2, ... и т. д.

Стили s1, s2,... задаются в виде набора трех символьных маркеров, заклю­ченных в одиночные кавычки (апострофы). Один из этих маркеров задает тип линии (Таблица 3). Другой маркер задает цвет (Таблица 4). Последний маркер задает тип проставляемых «точек» (Таблица 5). Можно указывать не все три маркера. Тогда используются маркеры, установленные по умолчанию. Порядок, в котором указывают маркеры, не является существенным, то есть "r+-" и "-+r" приводит к одинаковому результату.

Таблица 3. Маркеры, задающие тип линии

Таблица 4 Маркеры, задающие цвет линии

Таблица 5 Маркеры, задающие тип точки

Если в строке стиля поставить маркер на тип точки, но не проставить мар­кер на тип линии, то тогда отображаются только вычисляемые точки, а непре­рывной линией они не соединяются.


Сис­тема MATLAB устанавливает пределы на горизонтальной оси равными тем значениям, что указаны пользователем для независимой переменной. Для зави­симой переменной по вертикальной оси MATLAB самостоятельно вычисляет диапазон изменения значений функции. Если надо отказаться от этой осо­бенности масштабирования при построении графиков в системе MATLAB, то нужно явным образом навязать свои пределы изменения переменных по осям координат. Это делается с помощью функции axis().

Для проставления различных надписей на полученном рисунке применяют функции xlabel, ylabel, title и text. Функция xlabel создает подпись у горизон­тальной оси, функция ylabel - тоже для вертикальной оси (причем эти надписи ориентированы вдоль осей координат). Если требуется разместить надпись в произвольном месте рисунка, применяют функцию text. Общий заголовок для графика создается функцией title. Кроме того, используя команду grid on, мож­но нанести измерительную сетку на всю область построения графика. Напри­мер (рис. 6):

» x=0:0.1:3; y=sin(x);

» plot(x,y,"r-",x,y,"ko")

»title("Function sin(x) graph");

» xlabel("xcoordinate"); ylabel("sin(x)");

» text(2.1, 0.9, "\leftarrowsin(x)"); grid on

Надпись функцией text помещается начиная от точки с координатами, указанными первыми двумя аргументами. По умолчанию координаты задаются в тех же единицах измерения, что и координаты, указанные на горизонтальной и вертикальной осях. Специальные управляющие символы вводятся внутри текста после символа \ (обратная косая черта).

Трехмерная графика

Каждая точка в пространстве характеризуется тремя координатами. Набор точек, принадлежащих некоторой линии в пространстве, нужно задать в виде трех векторов, первый из которых содержит первые координаты этих точек, второй вектор - вторые их координаты, третий вектор - третьи координа­ты. После чего эти три вектора можно подать на вход функции plot3, которая и осуществит проектирование соответствующей трехмерной линии на плоскость и построит результирующее изображение (рис. 7). Введите с клавиатуры:

» t=0:pi/50:10*pi; x=sin(t);

» y=cos(t); plot3(x,y,t); grid on

Рис. 7. График винтовой линии, построенный с помощью функции plot3

Эту же функцию plot3 можно применить и для изображения поверхностей в пространстве, если, конечно, провести не одну линию, а много. Наберите с клавиатуры:

» u=-2:0.1:2; v=-1:0.1:1;

» =meshgrid(u,v);

» z=exp(-X.^2-Y.^2);

Получите трехмерное изображение графика функции (рис. 8).

Функция plot3 строит график в виде набора линий в пространстве, каждая из которых является сечением трехмерной поверхности плоскостями, парал­лельными плоскости yOz. Помимо этой простейшей функции система MATLAB располагает еще рядом функций, позволяющих добиваться большей реалистичности в изображении трехмерных графиков.

Рис. 8. График поверхности в пространстве, построенный с помо­щью функции plot3


Сценарии и m-файлы.

Для простых операций удобен интерактивный режим, но если вычисле­ния нужно многократно выполнять или необходимо реализовывать сложные алгоритмы, то следует использовать m-файлы MATLAB (расширение файла со­стоит из одной буквы m). script-m-файл (или сценарий) - текстовый файл, содержащий инструкции на языке MATLAB, подле­жащими исполнению в автоматическом пакетном режиме. Создать такой файл удобнее с помощью редактора системы MATLAB. Он вызывается из командно­го окна системы MATLAB командой меню File/New/M-file (или самой левой кнопкой на полосе инструментов, на которой изображен чистый белый лист бумаги). Записанные в script-файлы команды будут выполнены, если в команд­ной строке ввести имя script-файла (без расширения). Переменные, определяе­мые в командном окне и переменные, определяемые в сценариях, составляют единое рабочее пространство системы MATLAB, причем переменные, опреде­ляемые в сценариях, являются глобальными, их значения заместят значения таких же переменных, которые были использованы до вызова данного script- файла.

После создания текста сценария его надо сохранить на диске. Путь к каталогу с файлом обязательно должен быть известен сис­теме MATLAB. Командой File/Set Path вызывается диалоговое окно просмотрщика путей доступа к каталогам. Для добавления нового каталога в список пу­тей доступа необходимо выполнить далее команду меню Path/Add to path.

Это окно является основным в MatLAB. В нем появляются символы команд, которые набираются пользователем на экране дисплея, отображаются результаты выполнения этих команд, текст исполняемой программы и информация об ошибках выполнения программы, распознанных системой.

Признаком того, что MatLAB готова к восприятию и выполнению очередной команды, является возникновение в последней строке текстового поля окна знака приглашения " >> ", после которого расположена мигающая вертикальная черта.

В верхней части окна (под заголовком) размещена строка меню, в которой находятся меню File, Edit, View, Windows, Help. Чтобы открыть какое-либо меню, следует установить на нем указатель мыши и нажать ее левую кнопку. Подробнее функции команд меню будут описаны далее, в разделе «Интерфейс MatLab и команды общего назначения. Написание М-книг».

Здесь отметим лишь, что для выхода из среды MatLAB достаточно открыть меню File и выбрать в нем команду Exit MATLAB, или просто закрыть командное окно, нажав левую клавишу мыши, когда курсор мыши установлен на изображении верхней крайней правой кнопки этого окна (с обозначением косого крестика).

1.2. Операции с числами

1.2.1. Ввод действительных чисел

Ввод чисел с клавиатуры осуществляется по общим правилам, принятым для языков программирования высокого уровня:

для отделения дробной части мантиссы числа используется десятичная точка (вместо запятой при обычной записи) ;

десятичный показатель числа записывается в виде целого числа после предшествующей записи символа «е» ;

между записью мантиссы числа и символом «е» (который отделяет мантиссу от показателя ) не должно быть никаких символов , включая и символ пропуска.

Если, например, ввести в командном окне MatLAB строку

то после нажатия клавиши <Еnter> в этом окне появится запись:


Следует отметить, что результат выводится в виде (формате), который определяется предварительно установленным форматом представления чисел. Этот формат может быть установлен с помощью команды Preferences меню File (рис. 1.3). После ее вызова на экране появится одноименное окно (рис. 1.4). Один из участков этого окна имеет название Numeric Format . Он предназначен для установки и изменения формата представления чисел, которые выводятся в командное окно в процессе расчетов. Предусмотрены такие форматы:

Short (default) – краткая запись (применяется по умолчанию);

Long – длинная запись;

Hex – запись в виде шестнадцатиричного числа;

Bank – запись до сотых долей;

Plus – записывается только знак числа;

Short Е – краткая запись в формате с плавающей запятой;

Long Е – длинная запись в формате с плавающей запятой;

Short G – вторая форма краткой записи в формате с плавающей запятой;

Long G – вторая форма длинной записи в формате с плавающей запятой;

Rational – запись в виде рациональной дроби.

Избирая с помощью мыши нужный вид представления чисел, можно обеспечить в дальнейшем выведение чисел в командное окно именно в этой форме.

Как видно из рис. 1.2, число, которое выведено на экран, не совпадает с введенным. Это обусловлено тем, что установленный по умолчанию формат пред­ставления чисел (Short ) не позволяет вывести больше 6 значащих цифр. На самом деле введенное число сохраняется внутри MatLAB со всеми введенными его цифрами. Например, если избрать мышью селекторную кнопку Long Е (т. е. установить указанный формат представления чисел), то, повторяя те же действия, получим:

где уже все цифры отображены верно (рис. 1.5).

Следует помнить:

- введенное число и результаты всех вычислений в системе Ма tLAB сохраняются в памяти ПК с относительной погрешностью около 2.10-16 (т. е. с точными значениями в 15 десятичных разрядах ):

- диапазон представления модуля действительных чисел лежит в диапазоне между 10-308 и 10+308 .

1.2.2. Простейшие арифметические действия

В арифметических выражениях языка МаtLAB используются следующие знаки арифметических операций:

+ – сложение;

– – вычитание;

* – умножение;

/ – деление слева направо;

\ – деление справа налево;

^ – возведение в степень.

Использование MatLAB в режиме калькулятора может происходить путем простой записи в командную строку последовательности арифметических действий с числами, то есть обычного арифметического выражения, например: 4.5^2*7.23 – 3.14*10.4.

Если после ввода с клавиатуры этой последовательности нажать клавишу , в командном окне возникнет результат выполнения в виде, представленном на рис. 1.6, т. е. на экран под именем системной переменной ans выводится результат действия последнего выполненного оператора.

Вообще вывод промежуточной информации в командное окно подчиняется таким правилам:

- если запись оператора не заканчивается символом ";", результат действия этого оператора сразу же выводится в командное окно;

- если оператор заканчивается символом ";", результат его действия не отображается в командном окне ;

- если оператор не содержит знака присваивания (= ), т. е. является просто записью некоторой последовательности действий над числами и переменными , значение результата присваивается специальной системной переменной по имени ans ;

- полученное значение переменной ans можно использовать в следующих операторах вычислений, применяя это имя ans; при этом следует помнить, что значение системной переменной ans изменяется после действия очередного оператора без знака присваивания ;

- в общем случае форма представления результата в командном окне имеет вид :

<Имя переменной> = <результат>.

Пример. Пусть нужно вычислить выражение (25+17)*7. Это можно сделать таким образом. Сначала набираем последовательность 25+17 и нажимаем . Получаем на экране результат в виде ans = 42.Теперь записываем последовательность ans*7 и нажимаем . Получаем ans = 294 (рис. 1.7). Чтобы предотвратить выведение промежуточного результата действия 25+17, достаточно после записи этой последовательности добавить символ ";". Тогда будем иметь результаты в виде, представленном на рис. 1.8.

Применяя MatLAB как калькулятор, можно использовать имена переменных для записи промежуточных результатов в память ПК. Для этого служит операция присваивания, которая вводится знаком равенства "=" в соответствия со схемой: <Имя переменной> = <выражение>[;]

Имя переменной может содержать до 30 символов и должно не совпадать с именами функций, процедур системы и системных переменных. При этом система различает большие и маленькие буквы в переменных. Так, имена "amenu", "Amenu", "aMenu" в MatLAB обозначают разные переменные.

Выражение справа от знака присваивания может быть просто числом, арифметическим выражением, строкой символов (тогда эти символы нужно заключить в апострофы) или символьным выражением. Если выражение не заканчивается символом ";", после нажатия клавиши <Еnter> в командном окне возникнет результат выполнения в виде:

<Имя переменной > = <результат >.

Рис. 1.7. Рис. 1.8.

Например, если ввести в командное окно строку "х = 25 + 17", на экране появится запись (рис. 1.9).

Система MatLAB имеет несколько имен переменных, которые используются самой системой и входят в состав зарезервированных:

i, j – мнимая единица (корень квадратный из –1); pi – число p (сохраняется в виде 3.141592653589793); inf – обозначение машинной бесконечности; Na – обозначение неопределенного результата (например, типа 0/0 или inf/inf); eps – погрешность операций над числами с плавающей запятой; ans – результат последней операции без знака присваивания; realmax и realmin – максимально и минимально возможные величины числа, которое может быть использованы.

Эти переменные можно использовать в математических выражениях.

1.2.3. Ввод комплексных чисел

Язык системы MatLAB, в отличие от многих языков программирования высокого уровня, содержит в себе очень простую в пользовании встроенную арифметику комплексных чисел. Большинство элементарных математических функций допускают в качестве аргументов комплексные числа, а результаты формируются как комплексные числа. Эта особенность языка делает его очень удобным и полезным для инженеров и научных работников.

Для обозначения мнимой единицы в языке МatLAB зарезервированы два имени i и j. Ввод с клавиатуры значения комплексного числа осуществляется путем записи в командное окно строки вида:

<имя комплексной переменной > = <значение ДЧ > + i [j ] * <значение МЧ >,

где ДЧ – действительная часть комплексного числа, МЧ – мнимая часть. Например:

Из приведенного примера видно, в каком виде система выводит комплексные числа на экран (и на печать).

1.2.4. Элементарные математические функции

Общая форма использования функции в MatLAB такова:

<имя результата > = <имя функции >(<перечень аргументов или их значений> ).

В языке MatLAB предусмотрены следующие элементарные арифметические функции.

Тригонометрические и гиперболические функции

sin (z) – синус числа z;

sinh (z) – гиперболический синус;

asin (z) – арксинус (в радианах, в диапазоне от к );

а sinh (z) – обратный гиперболический синус;

со s (z) – косинус;

соsh(z) – гиперболический косинус;

acos (z) – арккосинус (в диапазоне от 0 к p );

асо sh (z) – обратный гиперболический косинус;

tan (z) – тангенс;

tanh (z) – гиперболический тангенс;

atan (z) – арктангенс (в диапазоне от от к );

аtап2 (Х, Y) – четырехквадрантный арктангенс (угол в диапазоне от –p до +p между горизонтальным правым лучом и лучом, который проходит через точку с координатами Х и Y );

atanh (z) – обратный гиперболический тангенс;

sec (z) – секанс;

sech (z) – гиперболический секанс;

asec (z) – арксеканс;

asech (z) – обратный гиперболический секанс;

csc (z) – косеканс;

csch (z) – гиперболический косеканс;

acsc (z) – арккосеканс;

acsch (z) – обратный гиперболический косеканс;

cot (z) – котангенс;

coth (z) – гиперболический котангенс;

acot (z) – арккотангенс;

acoth (z) – обратный гиперболический котангенс

Экспоненциальные функции

exp (z) – экспонента числа z;

log (z) – натуральный логарифм;

log 10 (z) – десятичный логарифм;

sqrt (z) – квадратный корень из числа z;

abs (z) – модуль числа z.

Целочисленные функции

fix (z) – округление к ближайшему целому в сторону нуля;

floor (z) – округление к ближайшему целому в сторону отрицательной бесконечности;

ceil (z) – округление к ближайшему целому в сторону положительной бесконечности;

round (z) – обычное округление числа z к ближайшему целому;

mod (X, Y) – целочисленное деление X на Y;

rem (X, Y) – вычисление остатка от деления X на Y;

sign (z) – вычисление сигнум-функции числа z

(0 при z = 0, –1 при z < 0, 1 при z > 0)

1.2.5. Специальные математические функции

Кроме элементарных в языке MatLAB предусмотрен целый ряд специальных математических функций. Ниже приведен перечень и краткое содержание этих функций. Правила обращения к ним и использования пользователь может отыскать в описаниях этих функций, которые выводятся на экран, если набрать команду help и указать в той же строке имя функции.

Функции преобразования координат

cart 2 sph – преобразование декартовых координат в сферические;

cart 2 pol – преобразование декартовых координат в полярные;

pol 2 cart – преобразование полярных координат в декартовые;

sph 2 cart – преобразование сферических координат в декартовые.

Функции Бесселя

besselj – функция Бесселя первого рода;

bessely – функция Бесселя второго рода;

besseli – модифицированная функция Бесселя первого рода;

besselk – модифицированная функция Бесселя второго рода.

Бета-функции

beta – бета-функция;

betainc – неполная бета-функция;

betaln – логарифм бета-функции.

Гамма-функции

gamma – гамма-функция;

gammainc – неполная гамма-функция;

gammaln – логарифм гамма-функции.

Эллиптические функции и интегралы

ellipj – эллиптические функции Якоби;

ellipke – полный эллиптический интеграл;

expint – функция экспоненциального интеграла.

Функции ошибок

erf – функция ошибок;

erfc – дополнительная функция ошибок;

erfcx – масштабированная дополнительная функция ошибок;

erflnv – обратная функция ошибок.

Другие функции

gcd – наибольший общий делитель;

lern – наименьшее общее кратное;

legendre – обобщенная функция Лежандра;

log2 – логарифм по основанию 2;

pow2 – возведение 2 в указанную степень;

rat – представление числа в виде рациональной дроби;

rats – представление чисел в виде рациональной дроби.

1.2.6. Элементарные действия с комплексными числами

Простейшие действия с комплексными числами – сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень – осуществляются при помощи обычных арифметических знаков +,–,*,/, \ и ^ соответственно.

Примеры использования приведены на рис. 1.11.

Примечание. В приведенном фрагменте использована функция disp (от слова "дисплей"), которая тоже выводит в командное окно результаты вычислений или некоторый текст. При этом численный результат, как видно, выводится уже без указания имени переменной или ans.

1.2.7. Функции комплексного аргумента

Практически все элементарные математические функции , приведенные в п. 1.2.4, вычисляются при комплексных значениях аргумента и получают в результате этого комплексные значения результата.

Благодаря этому, например, функция sqrt вычисляет, в отличие от других языков программирования, квадратный корень из отрицательного аргумента, а функция abs при комплексном значении аргумента вычисляет модуль комплексного числа. Примеры приведены на рис. 1.12.

В МаtLАВ есть несколько дополнительных функций, рассчитанных только на комплексный аргумент:

real (z) – выделяет действительную часть комплексного аргумента z;

і mag (z) – выделяет мнимую часть комплексного аргумента;

angle (z) – вычисляет значение аргумента комплексного числа z (в радианах в диапазоне от –p до +p);

conj (z) – выдает число, комплексно сопряженное относительно z.

Примеры приведены на рис. 1.13.

Рис. 1.12. Рис. 1.3.

Кроме того, в MatLAB есть специальная функция cplxpair (V), которая осуществляет сортировку заданного вектора V с комплексными элементами таким образом, что комплексно-сопряженные пары этих элементов располагаются в векторе-результате в порядке возрастания их действительных частей, при этом элемент с отрицательной мнимой частью всегда располагается первым. Действительные элементы завершают комплексно-сопряженные пары. Например (в дальнейшем в примерах команды, которые набираются с клавиатуры , будут написаны жирным шрифтом , а результат их выполнения – обычным шрифтом ):

>> v = [ -1, -1+2i,-5,4,5i,-1-2i,-5i]

Columns 1 through 4

1.0000 -1.0000 +2.0000i -5.0000 4.0000

Columns 5 through 7

0 + 5.0000i -1.0000-2.0000i 0 - 5.0000i

>> disp(cplxpair(v))

Columns 1 through 4

1.0000 - 2.0000i -1.0000 + 2.0000i 0 - 5.0000i 0 + 5.0000i

Columns 5 through 7

5.0000 -1.0000 4.0000

Приспособленность большинства функций MatLAB к оперированию с ком­плексными числами позволяет значительно проще строить вычисления с действи­тельными числами, результат которых является комплексным, например, находить комплексные корни квадратных уравнений.

1. Гультяев А. К. MatLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. - Спб.: КОРОНА принт, 1999. - 288 с.

2. Гультяев А. К. Визуальное моделирование в среде MATLAB: Учебный курс. - Спб.: ПИТЕР, 2000. - 430 с.

3. Дьяконов В. П. Справочник по применению системы PC MatLAB. - M.: Физматлит, 1993. - 113с.

4. Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник. - Спб: Питер, 2002. – 518 с.

5. Дьяконов В., Круглов В. Математические пакеты расширения MatLAB. Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2001. - 475с.

6. Краснопрошина А. А., Репникова Н. Б., Ильченко А. А. Современный анализ систем управления с применением MATLAB, Simulink, Control System: Учебное пособие. - К.: "Корнійчук", 1999. – 144 с.

7. Лазарев Ю. Ф. Початки програмування в среде MatLAB: Уч. пособие. - К.: "Корнійчук", 1999. - 160с.

8. Лазарев Ю. MatLAB 5.x. – К.: "Ирина" (BHV), 2000. – 384 с.

9. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Control System Toolbox. MatLAB 5 для студентов. - Г.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1999. – 287 с.

10. Потемкин В. Г. MatLAB 5 для студентов: Справ. пособие. - M.: "ДИАЛОГ-МИФИ", 1998. - 314 с.

Работа из командной строки MatLab затруднена, если требуется вводить много команд и часто их изменять. Ведение дневника при помощи команды diary и сохранение рабочей среды лишь незначительно облегчает работу. Самым удобным способом выполнения команд MatLab является использование М-файлов, в которых можно набирать команды, выполнять их все сразу или частями, сохранять в файле и использовать в дальнейшем. Для работы с М-файлами предназначен редактор М-файлов. При помощи этого редактора можно создавать собственные функции и вызывать их, в том числе и из командной строки.

Раскройте меню File основного окна MatLab и в пункте New выберите подпункт M-file . Новый файл открывается в окне редактора М-файлов.

Наберите в редакторе команды, приводящие к построению двух графиков в одном графическом окне:

x = ;
f = exp(-x);
subplot(1, 2, 1)
plot(x, f)
g = sin(x);
subplot(1, 2, 2)
plot(x, g)

Сохраните теперь файл с именем mydemo.m в подкаталоге work основного каталога MatLab, выбрав пункт Save as меню File редактора. Для запуска на выполнение всех команд, содержащихся в файле, следует выбрать пункт Run в меню Debug. На экране появится графическое окно Figure No.1, содержащее графики функций. Если Вы решили построить график косинуса вместо синуса, то просто измените строку g = sin(x) в М-файле на g = cos(x) и запустите все команды снова.

Замечание 1

Если при наборе сделана ошибка и MatLab не может распознать команду, то происходит выполнение команд до неправильно введенной, после чего выводится сообщение об ошибке в командное окно.

Очень удобной возможностью, предоставляемой редактором М-файлов, является выполнение части команд. Закройте графическое окно Figure No.1. Выделите при помощи мыши, удерживая левую кнопку, или клавишами со стрелками при нажатой клавише , первые четыре команды программы и выполните их из пункта Evaluate Selection меню Text . Обратите внимание, что в графическое окно вывелся только один график, соответствующий выполненным командам. Запомните, что для выполнения части команд их следует выделить и нажать . Выполните оставшиеся три команды программы и проследите за состоянием графического окна. Потренируйтесь самостоятельно, наберите какие-либо примеры из предыдущих лабораторных работ в редакторе М-файлов и запустите их.

Отдельные блоки М-файла можно снабжать комментариями, которые пропускаются при выполнении, но удобны при работе с М-файлом. Комментарии в MatLab начинаются со знака процента и автоматически выделяются зеленым цветом, например:

%построение графика sin(x) в отдельном окне

В редакторе М-файлов может быть одновременно открыто несколько файлов. Переход между файлами осуществляется при помощи закладок с именами файлов, расположенных внизу окна редактора.

Открытие существующего М-файла производится при помощи пункта Open меню File рабочей среды, либо редактора М-файлов. Открыть файл в редакторе можно и командой MatLab edit из командной строки, указав в качестве аргумента имя файла, например:

Команда edit без аргумента приводит к созданию нового файла.
Все примеры, которые встречаются в этой и следующих лабораторных работах, лучше всего набирать и сохранять в М-файлах, дополняя их комментариями, и выполнять из редактора М-файлов. Применение численных методов и программирование в MatLab требует создания М-файлов.

2. Типы М-файлов

М-файлы в MatLab бывают двух типов: файл-программы (Script M-Files), содержащие последовательность команд, и файл-функции (Function M-Files), в которых описываются функции, определяемые пользователем.

Файл-программу (файл-процедуру) Вы создали при прочтении предыдущего подраздела. Все переменные, объявленные в файл-программе, становятся доступными в рабочей среде после ее выполнения. Выполните в редакторе М?файлов файл-программу, приведенную в подразделе 2.1, и наберите команду whos в командной строке для просмотра содержимого рабочей среды. В командном окне появится описание переменных:

» whos
Name Size Bytes Class
f 1x71 568 double array
g 1x71 568 double array
x 1x71 568 double array
Grand total is 213 elements using 1704 bytes

Переменные, определенные в одной файле-программе, можно использовать в других файл-программах и в командах, выполняемых из командной строки. Выполнение команд, содержащихся в файл-программе, осуществляется двумя способами:

  • Из редактора М-файлов так, как описано выше.
  • Из командной строки или другой файл-программы, при этом в качестве команды используется имя М-файла.

Применение второго способа намного удобнее, особенно, если созданная файл-программа будет неоднократно использоваться впоследствии. Фактически, созданный М-файл становится командой, которую понимает MatLab. Закройте все графические окна и наберите в командной строке mydemo, появляется графическое окно, соответствующее командам файл-программы mydemo.m. После ввода команды mydemo MatLab производит следующие действия.

  • Проверяет, является ли введенная команда именем какой-либо из переменных, определенных в рабочей среде. Если введена переменная, то выводится ее значение.
  • Если введена не переменная, то MatLab ищет введенную команду среди встроенных функций. Если команда оказывается встроенной функцией, то происходит ее выполнение.

Если введена не переменная и не встроенная функция, то MatLab начинает поиск М-файла с названием команды и расширением m . Поиск начинается с текущего каталога (Current Directory), если М-файл в нем не найден, то MatLab просматривает каталоги, установленные в пути поиска (Path). Найденный М-файл выполняется в MatLab.

Если ни одно из вышеперечисленных действий не привело к успеху, то выводится сообщение в командное окно, например:

» mydem
??? Undefined function or variable "mydem".

Как правило, М-файлы хранятся в каталоге пользователя. Для того чтобы система MatLab могла найти их, следует установить пути, указывающие расположение М-файлов.

Замечание 2

Хранить собственные М-файлы вне основного каталога MatLab следует по двум причинам. Во-первых, при переустановке MatLab файлы, которые содержатся в подкаталогах основного каталога MatLab, могут быть уничтожены. Во-вторых, при запуске MatLab все файлы подкаталога toolbox размещаются в памяти компьютера некоторым оптимальным образом так, чтобы увеличить производительность работы. Если вы записали М-файл в этот каталог, то воспользоваться им можно будет только после перезапуска MatLab.

3. Установка путей

В MatLab версий 6.x определяется текущий каталог и пути поиска. Установка этих свойств производится либо при помощи соответствующих диалоговых окон либо командами из командной строки.

Текущий каталог определяется в диалоговом окне Current Directory рабочей среды. Окно присутствует в рабочей среде, если выбран пункт Current Directory меню View рабочей среды.
Текущий каталог выбирается из списка. Если его нет в списке, то его можно добавить из диалогового окна Browse for Folder, вызываемого нажатием на кнопку, расположенную справа от списка. Содержимое текущего каталога отображается в таблице файлов.

Определение путей поиска производится в диалоговом окне Set Path навигатора путей, доступ к которому осуществляется из пункта Set Path меню File рабочей среды.

Для добавления каталога нажмите кнопку Add Folder Browse for Path выберите требуемый каталог. Добавление каталога со всеми его подкаталогами осуществляется при нажатии на кнопку Add with Subfolders. MATLAB search path. Порядок поиска соответствует расположению путей в этом поле, первым просматривается каталог, путь к которому размещен вверху списка. Порядок поиска можно изменить или вообще удалить путь к какому-либо каталогу, для чего выделите каталог в поле MATLAB search path и определите его положение при помощи следующих кнопок:
Move to Top - поместить вверх списка;
Move Up - переместить вверх на одну позицию;
Remove - удалить из списка;
Move Down - переместить вниз на одну позицию;
Move to Bottom - поместить вниз списка.

4. Команды для установки путей.

Действия по установке путей в MatLab 6.x дублируются командами. Текущий каталог устанавливается командой cd, например cd c:\users\igor. Команда cd, вызванная без аргумента, выводит путь к текущему каталогу. Для установки путей служит команда path, вызываемая с двумя аргументами:

path (path, "c:\users\igor") - добавляет каталог c:\users\igor с низшим приоритетом поиска;
path ("с: \users\igor",path) - добавляет каталог c:\users\igor с высшим приоритетом поиска.

Использование команды path без аргументов приводит к отображению на экране списка путей поиска. Удалить путь из списка можно при помощи команды rmpath:

rmpath ("с:\users\igor") удаляет путь к каталогу c:\users\igor из списка путей.

Замечание 3

Не удаляйте без необходимости пути к каталогам, особенно к тем, в назначении которых вы не уверены. Удаление может привести к тому, что часть функций, определенных в MatLab, станет недоступной.

Пример. Создайте в корневом каталоге диска D (или любом другом диске или каталоге, где студентам разрешено создавать свои каталоги) каталог со своей фамилией, например, WORK_IVANOV, и запишите туда М-файл mydemo.m под именем mydemo3.m. Установите пути к файлу и продемонстрируйте доступность файла из командной строки. Результаты приведите в отчете по лабораторной работе.

Вариант решения:

1. В корневом каталоге диска D создается каталог WORK_IVANOV.
2. В каталог WORK_IVANOV записывается М-файл mydemo.m под именем mydemo3.m.
3. Открывается диалоговое окно Set Path меню File рабочей среды MatLab.
4. Нажимается кнопка Add Folder и в появившемся диалоговом окне Browse for Path выбирается каталог WORK_IVANOV.
5. Добавление каталога со всеми его подкаталогами осуществляется при нажатии на кнопку Add with Subfolders. Путь к добавленному каталогу появляется в поле MATLAB search path.
6. Для запоминания пути нажимается клавиша Save диалогового окна Set Path.
7. Выполняется проверка правильности всех действий путем набора команды mydemo3 из командной строки. На экране появится графическое окно.

5. Файл-функции

Рассмотренные выше файл-программы являются последовательностью команд MatLab, они не имеют входных и выходных аргументов. Для использования численных методов и при программировании собственных приложений в MatLab необходимо уметь составлять файл-функции, которые производят необходимые действия с входными аргументами и возвращают результат в выходных аргументах. В этом подразделе разобрано несколько простых примеров, позволяющих понять работу с файл-функциями. Файл-функции, так же как и файл-процедуры, создаются в редакторе М-файлов.

5.1. Файл-функции с одним входным аргументом

Предположим, что в вычислениях часто необходимо использовать функцию

Имеет смысл один раз написать файл-функцию, а потом вызывать её всюду, где необходимо вычисление этой функции. Откройте в редакторе М-файлов новый файл и наберите текст листинга

function f = myfun(x)
f= ехр(-х)*sqrt((х^2+1)/(х^4+0.1));

Слово function в первой строке определяет, что данный файл содержит файл-функцию. Первая строка является заголовком функции, в которой размещается имя функции и списки входных и выходных аргументов. В примере, приведенном в листинге, имя функции myfun, один входной аргумент х и один выходной - f. После заголовка следует тело функции (оно в данном примере состоит из одной строки), где и вычисляется ее значение. Важно, что вычисленное значение записывается в f. Точка с запятой поставлена для предотвращения вывода лишней информации на экран.

Теперь сохраните файл в рабочем каталоге. Обратите внимание, что выбор пункта Save или Save as меню File приводит к появлению диалогового окна сохранения файла, в поле File name которого уже содержится название myfun. He изменяйте его, сохраните файл-функцию в файле с предложенным именем.

Теперь созданную функцию можно использовать так же, как и встроенные sin, cos и другие, например из командной строки:

» у =myfun(1.3)
У =
0.2600

Вызов собственных функций может осуществляться из файл-программы и из другой файл-функции.

Предупреждение

Каталог, в котором содержатся файл-функции, должен быть текущим, или путь к нему должен быть добавлен в пути поиска, иначе MatLab просто не найдет функцию, или вызовет вместо нее другую с тем же именем (если она находится в каталогах, доступных для поиска).

Файл-функция, приведенная в листинге, имеет один существенный недостаток. Попытка вычисления значений функции от массива приводит к ошибке, а не к массиву значений, как это происходит при вычислении встроенных функций.

» х = ;
» у = myfun(x)
??? Error using ==> ^
Matrix must be square.
Error in ==> C:\MATLABRll\work\myfun.m
On line 2 ==> f = exp(-x)*sqrt((х^2+1)/(х^4+1));

Если вы изучили работу с массивами, то устранение этого недостатка не вызовет затруднений. Необходимо просто при вычислении значения функции использовать поэлементные операции.
Измените тело функции, как указано в следующем листинге (не забудьте сохранить изменения в файле myfun.m).

function f = myfun(x)
f = ехр(-х).*sqrt((х.^2+1)./(х.^4+0.1));

Теперь аргументом функции myfun может быть как число, так и вектор или матрица значений, например:

» х = ;
» у = myfun(x)
У =
0.2600 0.0001

Переменная у, в которую записывается результат вызова функции myfun, автоматически становится вектором нужного размера.

Постройте график функции myfun на отрезке из командной строки или при помощи файл-программы:

x = ;
у = myfun(x);
plot(x, у)

MatLab предоставляет еще одну возможность работы с файл-функциями - использование их в качестве аргументов некоторых команд. Например, для построения графика служит специальная функция fplot, заменяющая последовательность команд, приведенную выше. При вызове fplot имя функции, график которой требуется построить, заключается в апострофы, пределы построения указываются в вектор-строке из двух элементов

fplot("myfun", )

Постройте графики myfun при помощи plot и fplot на одних осях, при помощи hold on. Обратите внимание, что график, построенный при помощи fplot, более точно отражает поведение функции, т. к. fplot сама подбирает шаг аргумента, уменьшая его на участках быстрого изменения отображаемой функции. Результаты приведите в отчете по лабораторной работе.

5.2. Файл-функции с несколькими входными аргументами

Написание файл-функций с несколькими входными аргументами практически не отличается от случая с одним аргументом. Все входные аргументы размещаются в списке через запятую. Например, следующий листинг содержит файл-функцию, вычисляющую длину радиус-вектора точки трехмерного пространства
Листинг файл-функции с несколькими аргументами

function r = radius3(x, у, z)
r = sqrt(х.^2 + у.^2 + z.^2);

» R = radius3(1, 1, 1)
R =
1.732

Кроме функций с несколькими входными аргументами, MatLab позволяет создавать функции, возвращающие несколько значений, т.е. имеющие несколько выходных аргументов.

5.3. Файл-функции с несколькими выходными аргументами

Файл-функции с несколькими выходными аргументами удобны при вычислении функций, возвращающих несколько значений (в математике они называются вектор-функциями ). Выходные аргументы добавляются через запятую в список выходных аргументов, а сам список заключается в квадратные скобки. Хорошим примером является функция, переводящая время, заданное в секундах, в часы, минуты и секунды. Данная файл-функция приведена в следующем листинге.

Листинг функции перевода секунд в часы, минуты и секунды

function = hms(sec)
hour = floor(sec/3600);
minute = floor((sec-hour*3600)/60);
second = sec-hour*3600-minute*60;

При вызове файл-функций с несколькими выходными аргументами результат следует записывать в вектор соответствующей длины:

» [Н, М, S] = hms(10000)
H =
2
М =
46
S =
40

6. Основы программирования в MatLab

Файл-функции и файл программы, используемые в предыдущих подразделах, являются самыми простыми примерами программ, Все команды MatLab, содержащиеся в них, выполняются последовательно. Для решения многих более серьезных задач требуется писать программы, в которых действия выполняются циклически или в зависимости от некоторых условий выполняются различные части программ. Рассмотрим основные операторы, задающие последовательности выполнения команд MatLab. Операторы можно использовать как в файл-процедурах, так и в функциях, что позволяет создавать программы со сложной разветвленной структурой.

6.1. Оператор цикла for

Оператор предназначен для выполнения заданного числа повторяющихся действий. Самое простое использование оператора for осуществляется следующим образом:

for count = start:step:final
команды MatLab
end

Здесь count - переменная цикла, start - ее начальное значение, final - конечное значение, а step - шаг, на который увеличивается count при каждом следующем заходе в цикл. Цикл заканчивается, как только значение count становится больше final. Переменная цикла может принимать не только целые, но и вещественные значения любого знака. Разберем применение оператора цикла for на некоторых характерных примерах.
Пусть требуется вывести семейство кривых для , которое задано функцией, зависящей от параметра для значений параметра от -0.1 до 0.1.
Наберите текст файл-процедуры в редакторе М-файлов и сохраните в файле FORdem1.m, и запустите его на выполнение (из редактора М-файлов или из командной строки, набрав в ней команду FORdem1 и нажав ):

% файл-программа для построения семейства кривых
x = ;
for a = -0.1:0.02:0.1
y = exp(-a*x).*sin(x);
hold on
plot(x, y)
end

Замечание 4

Редактор М-файлов автоматически предлагает расположить операторы внутри цикла с отступом от левого края. Используйте эту возможность для удобства работы с текстом программы.

В результате выполнения FORdem1 появится графическое окно, которое содержит требуемое семейство кривых.

Напишите файл-программу для вычисления суммы

Алгоритм вычисления суммы использует накопление результата, т.е. сначала сумма равна нулю (S = 0), затем в переменную k заносится единица, вычисляется 1/k !, добавляется к S и результат снова заносится в S . Далее k увеличивается на единицу, и процесс продолжается, пока последним слагаемым не станет 1/10!. Файл-программа Fordem2, приведенная в следующем листинге, вычисляет искомую сумму.

Листинг файл-программы Fordem2 для вычисления суммы

% файл-программа для вычисления суммы
% 1/1!+1/2!+ … +1/10!

% Обнуление S для накопления суммы
S = 0;
% накопление суммы в цикле
for k = 1:10
S = S + 1/factorial(k);
End
% вывод результата в командное окно S

Наберите файл-программу в редакторе М-файлов, сохраните её в текущем каталоге в файле Fordem2.m и выполните. Результат отобразится в командном окне, т.к. в последней строке файл-программы S содержится без точки с запятой для вывода значения переменной S

Обратите внимание, что остальные строки файл-программы, которые могли бы повлечь вывод на экран промежуточных значений, завершаются точкой с запятой для подавления вывода в командное окно.

Первые две строки с комментариями не случайно отделены пустой строкой от остального текста программы. Именно они выводятся на экран, когда пользователь при помощи команды help из командной строки получает информацию о том, что делает Fordem2

>> help Fordem2
файл-программа для вычисления суммы
1/1!+1/2!+ … +1/10!

При написании файл-программ и файл-функций не пренебрегайте комментариями!
Все переменные, использующиеся в файл-программе, становятся доступными в рабочей среде. Они являются, так называемыми, глобальными переменными. С другой стороны, в файл-программе могут использоваться все переменные, введенные в рабочей среде.

Рассмотрим задачу вычисления суммы, похожую на предыдущую, но зависящую от переменной x

Для вычисления данной суммы в файл-программе Fordem2 требуется изменить строку внутри цикла for на

S = S + x.^k/factorial(k);

Перед запуском программы следует определить переменную x в командной строке при помощи следующих команд:

>> x = 1.5;
>> Fordem2
S =
3.4817

В качестве x может быть вектор или матрица, так как в файл-программе Fordem2 при накоплении суммы использовались поэлементные операции.

Перед запуском Fordem2 нужно обязательно присвоить переменной x некоторое значение, а для вычисления суммы, например из пятнадцати слагаемых, придется внести изменения в текст файл-программы. Гораздо лучше написать универсальную файл-функцию, у которой в качестве входных аргументов будут значение x и верхнего предела суммы, а выходным - значение суммы S (x ). Файл-функция sumN приведена в следующем листинге.

Листинг файл-функции для вычисления суммы

function S = sumN(x, N)
% файл-функция для вычисления суммы
% x/1!+x^2/2!+ … +x^N/N!
% использование: S = sumN(x, N)

% обнуление S для накопления суммы
S = 0;
% накопление суммы в цикле
for m = 1:1:N
S = S + x.^m/factorial(m);
end

Об использовании функции sumN пользователь может узнать, набрав в командной строке help sumN. В командное окно выведутся первые три строки с комментариями, отделенные от текста файл-функции пустой строкой.

Обратите внимание, что переменные файл-функции не являются глобальными (m в файл-функции sumN). Попытка просмотра значения переменной m из командной строки приводит к сообщению о том, что m не определена. Если в рабочей среде имеется глобальная переменная с тем же именем, определенная из командной строки или в файл-программе, то она никак не связана с локальной переменной в файл-функции. Как правило, лучше оформлять собственные алгоритмы в виде файл-функций для того, чтобы переменные, используемые в алгоритме, не изменяли значения одноименных глобальных переменных рабочей среды.

Циклы for могут быть вложены друг в друга, при этом переменные вложенных циклов должны быть разными.

Цикл for оказывается полезным при выполнении повторяющихся похожих действий в том случае, когда их число заранее определено. Обойти это ограничение позволяет более гибкий цикл while.

6.2. Оператор цикла while

Рассмотрим пример на вычисление суммы, похожий на пример из предыдущего пункта. Требуется найти сумму ряда для заданного x (разложение в ряд ):
.

Сумму можно накапливать до тех пор, пока слагаемые являются не слишком маленькими, скажем больше по модулю Циклом for здесь не обойтись, так как заранее неизвестно число слагаемых. Выход состоит в применении цикла while, который работает, пока выполняется условие цикла:

while условие цикла
команды MatLab
end

В данном примере условие цикла предусматривает, что текущее слагаемое больше . Для записи этого условия используется знак больше (>). Текст файл-функции mysin, вычисляющей сумму ряда, приведен в следующем листинге.

Листинг файл-функции mysin, вычисляющей синус разложением в ряд

function S = mysin(x)
% Вычисление синуса разложением в ряд
% Использование: y = mysin(x), -pi

S = 0;
k = 0;
while abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10
S = S + (-1)^k*x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1);
k = k + 1;
end

Обратите внимание, что у цикла while, в отличие от for, нет переменной цикла, поэтому пришлось до начала цикла k присвоить нуль, а внутри цикла увеличивать k на единицу.
Условие цикла while может содержать не только знак >. Для задания условия выполнения цикла допустимы также другие операции отношения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1. Операции отношения

Задание более сложных условий производится с применением логических операторов. Например, условие состоит в одновременном выполнении двух неравенств и , и записывается при помощи логического оператора and

and(x >= -1, x < 2)

или эквивалентным образом с символом &

(x >= -1) & (x < 2)

Логические операторы и примеры их использования приведены в табл. 2.

Таблица 2. Логические операторы

Оператор

Запись в MatLab

Эквивалентная запись

Логическое "И"

and(x < 3, k == 4)

(x < 3) & (k == 4)

Логическое "ИЛИ"

Or(x == 1,x == 2)

(x == 1) | (x == 2)

Отрицание "НЕ"

При вычислении суммы бесконечного ряда имеет смысл ограничить число слагаемых. Если ряд расходится из-за того, что его члены не стремятся к нулю, то условие на малое значение текущего слагаемого может никогда не выполниться и программа зациклится. Выполните суммирование, добавив в условие цикла while файл-функции mysin ограничение на число слагаемых:

while (abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10)&(k<=10000))

или в эквивалентной форме

while and(abs(x.^(2*k+1)/factorial(2*k+1))>1.0e-10), k<=10000)

Организация повторяющихся действий в виде циклов делает программу простой и понятной, однако часто требуется выполнить тот или иной блок команд в зависимости от некоторых условий, т.е. использовать ветвление алгоритма.

6.3. Условный оператор if

Условный оператор if позволяет создать разветвляющийся алгоритм выполнения команд, в котором при выполнении определенных условий работает соответствующий блок операторов или команд MatLab.

Оператор if может применяться в простом виде для выполнения блока команд при удовлетворении некоторого условия или в конструкции if-elseif-else для написания разветвляющихся алгоритмов.
Пусть требуется вычислить выражение . Предположим, что вычисления выполняются в области действительных чисел и требуется вывести предупреждение о том, что результат является комплексным числом. Перед вычислением функции следует произвести проверку значения аргумента x, и вывести в командное окно предупреждение, если модуль x не превосходит единицы. Здесь необходимо применение условного оператора if, применение которого в самом простом случае выглядит так:

if условие
команды MatLab
end

Если условие выполняется, то реализуются команды MatLab, размещенные между if и end, а если условие не выполняется, то происходит переход к командам, расположенным после end. При записи условия используются операции, приведенные в табл. 1.

Файл-функция, проверяющая значение аргумента, приведена в следующем листинге. Команда warning служит для вывода предупреждения в командное окно.

Листинг файл-функции Rfun, проверяющей значение аргумента

function f = Rfun(x)
% вычисляет sqrt(x^2-1)
% выводит предупреждение, если результат комплексный
% использование y = Rfun(x)

% проверка аргумента
if abs(x)<1
warning("результат комплексный")
end
% вычисление функции
f = sqrt(x^2-1);

Теперь вызов Rfun от аргумента, меньшего единицы, приведет к выводу в командное окно предупреждения:

>> y = Rfun(0.2)
результат комплексный
y =
0 + 0.97979589711327i

Файл-функция Rfun только предупреждает о том, что ее значение комплексное, а все вычисления с ней продолжаются. Если же комплексный результат означает ошибку вычислений, то следует прекратить выполнение функции, используя команду error вместо warning.

6.4. Оператор ветвления if-elseif-else

В общем случае применение оператора ветвления if-elseif-else выглядит следующим образом:

if условие 1
команды MatLab
elseif условие 2
команды MatLab
elseif условие 3
команды MatLab
. . . . . . . . . . .
elseif условие N
команды MatLab
else
команды MatLab
end

В зависимости от выполнения того или иного из N условий работает соответствующая ветвь программы, если не выполняется ни одно из N условий, то реализуются команды MatLab, размещенные после else. После выполнения любой из ветвей происходит выход из оператора. Ветвей может быть сколько угодно или только две. В случае двух ветвей используется завершающее else, а elseif пропускается. Оператор должен всегда заканчиваться end.
Пример использования оператора if-elseif-else приведен в следующем листинге.

function ifdem(a)
% пример использования оператора if-elseif-else

if (a == 0)
warning("а равно нулю")
elseif a == 1
warning("а равно единице")
elseif a == 2
warning("а равно двум")
elseif a >= 3
warning("а, больше или равно трем")
else
warning("а меньше трех, и не равно нулю, единице, двум")
end

6.5. Оператор ветвления switch

Для осуществления множественного выбора или ветвления может применяться оператор switch. Он является альтернативой оператору if-elseif-else. В общем случае применение оператора ветвления switch выглядит следующим образом:

switch switch_выражение
case значение 1
команды MatLab
case значение 2
команды MatLab
. . . . . . . . . . .
case значение N
команды MatLab
case {значение N+1, значение N+2, …}
команды MatLab
. . . . . . . . . . . .
case {значение NM+1, значение NM+2,…}
otherwise
команды MatLab
end

В данном операторе сначала вычисляется значение switch_выражения (это может быть скалярное числовое значение либо строка символов). Затем это значение сравнивается со значениями: значение 1, значение 2, …, значение N, значение N+1, значение N+2, …, значение NM+1, значение NM+2,… (которые также могут быть числовыми либо строковыми). Если найдено совпадение, то выполняются команды MatLab, стоящие после соответствующего ключевого слова case. В противном случае выполняются команды MatLab, расположенные между ключевыми словами otherwise и end.

Строк с ключевым словом case может быть сколько угодно, но строка с ключевым словом otherwise должна быть одна.

После выполнения какой-либо из ветвей происходит выход из switch, при этом значения, заданные в других case не проверяются.

Применение switch поясняет следующий пример:

function demswitch(x)
a = 10/5 + x
switch a
case -1
warning("a = -1")
case 0
warning("a = 0")
case 1
warning("a = 1")
case {2, 3, 4}
warning("a равно 2 или 3 или 4")
otherwise
warning("a не равно -1, 0, 1, 2, 3, 4")
end

>> x = -4
demswitch(x)
a =
1
warning: a = 1
>> x = 1
demswitch(x)
a =
6
warning: a не равно -1, 0, 1, 2, 3, 4

6.6. Оператор прерывания цикла break

При организации циклических вычислений следует заботиться о том, чтобы внутри цикла не возникло ошибок. Например, пусть задан массив x, состоящий из целых чисел, и требуется сформировать новый массив y по правилу y(i) = x(i+1)/x(i). Очевидно, что задача может быть решена при помощи цикла for. Но если один из элементов исходного массива равен нулю, то при делении получится inf, и последующие вычисления могут оказаться бесполезными. Предотвратить эту ситуацию можно выходом из цикла, если текущее значение x(i) равно нулю. Следующий фрагмент программы демонстрирует использование оператора break для прерывания цикла:

for x = 1:20
z = x-8;
if z==0
break
end
y = x/z
end

Как только переменная z принимает значение 0, цикл прерывается.

Оператор break позволяет досрочно прервать выполнение циклов for и while. Вне этих циклов оператор break не работает.

Если оператор break применяется во вложенном цикле, то он осуществляет выход только из внутреннего цикла.