Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора. Кривизна Риччи и геометрия в целом

Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор , есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.

Формальное определение

Пусть $(M,g)$ - n- мерное риманово многообразие , а $T\_pM$ - касательное пространство к M в точке p . Для любой пары $\backslash xi,\; \backslash eta\backslash in\; T\_pM$ касательных векторов в точке p , тензор Риччи $\backslash mathrm\{Ric\}\; (\backslash xi\; ,\; \backslash eta)$, по определению, отображает $(\backslash xi,\; \backslash eta)$ в след линейного автоморфизма $T\_pM\backslash to\; T\_pM$, заданного тензором кривизны Римана R :

$\backslash zeta\; \backslash mapsto\; R(\backslash zeta,\backslash eta)\; \backslash xi$

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

$\backslash operatorname\{Ric\}\; =\; R\_\{ij\}\backslash ,dx^i\; \backslash otimes\; dx^j$

где $R\_\{ij\}\; =\; \{R^k\}\_\{ikj\}.$ - след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия $(M,g)$ можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты , в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства $\backslash delta\_\{ij\}$ (или метрике Минковского $\backslash eta\_\{ij\}$ в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :

$d\backslash mu\_g\; =\; \backslash Big[\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{6\}R\_\{jk\}x^jx^k+\; O(|x|^3)\backslash Big]\; d\backslash mu\_Шаблон:\backslash rm\; Euclidean$

Таким образом, если кривизна Риччи $\backslash textrm\{Ric\}(\backslash xi\; ,\; \backslash xi)$ положительна в направлении вектора $\backslash xi$, то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении $\backslash xi$, будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора $\backslash xi$ будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Кривизна Риччи и геометрия в целом

Пусть $M$ есть полное $n$-мерное риманово многообразие с $\backslash operatorname\{Ric\}\_M\backslash ge\; (n-1)\backslash kappa$

• Неравенство Бишопа - Громова . Пусть $p\backslash in\; M$, обозначим через $v\_p(r)$ есть объём шара радиуса $r$ с центром в $p$. обозначим через $\backslash tilde\; v(r)$ объём шара радиуса $r$ в $n$-мерном пространстве постоянной кривизны $\backslash kappa$. Тогда отношение $\backslash frac\{v\_p(r)\}\{\backslash tilde\; v(r)\}$

есть невозрастающая функция от $r$.

• Из тождества Бохнера для 1-форм следует, что если $\backslash kappa=1$ то собственные числа лапласиана на $M$ не меньше чем у единичной $n$-мерной сферы.

Приложения тензора Риччи

• Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна .

• Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также

Напишите отзыв о статье "Тензор Риччи"

Отрывок, характеризующий Тензор Риччи

В Петербурге в это время в высших кругах, с большим жаром чем когда нибудь, шла сложная борьба партий Румянцева, французов, Марии Феодоровны, цесаревича и других, заглушаемая, как всегда, трубением придворных трутней. Но спокойная, роскошная, озабоченная только призраками, отражениями жизни, петербургская жизнь шла по старому; и из за хода этой жизни надо было делать большие усилия, чтобы сознавать опасность и то трудное положение, в котором находился русский народ. Те же были выходы, балы, тот же французский театр, те же интересы дворов, те же интересы службы и интриги. Только в самых высших кругах делались усилия для того, чтобы напоминать трудность настоящего положения. Рассказывалось шепотом о том, как противоположно одна другой поступили, в столь трудных обстоятельствах, обе императрицы. Императрица Мария Феодоровна, озабоченная благосостоянием подведомственных ей богоугодных и воспитательных учреждений, сделала распоряжение об отправке всех институтов в Казань, и вещи этих заведений уже были уложены. Императрица же Елизавета Алексеевна на вопрос о том, какие ей угодно сделать распоряжения, с свойственным ей русским патриотизмом изволила ответить, что о государственных учреждениях она не может делать распоряжений, так как это касается государя; о том же, что лично зависит от нее, она изволила сказать, что она последняя выедет из Петербурга.
У Анны Павловны 26 го августа, в самый день Бородинского сражения, был вечер, цветком которого должно было быть чтение письма преосвященного, написанного при посылке государю образа преподобного угодника Сергия. Письмо это почиталось образцом патриотического духовного красноречия. Прочесть его должен был сам князь Василий, славившийся своим искусством чтения. (Он же читывал и у императрицы.) Искусство чтения считалось в том, чтобы громко, певуче, между отчаянным завыванием и нежным ропотом переливать слова, совершенно независимо от их значения, так что совершенно случайно на одно слово попадало завывание, на другие – ропот. Чтение это, как и все вечера Анны Павловны, имело политическое значение. На этом вечере должно было быть несколько важных лиц, которых надо было устыдить за их поездки во французский театр и воодушевить к патриотическому настроению. Уже довольно много собралось народа, но Анна Павловна еще не видела в гостиной всех тех, кого нужно было, и потому, не приступая еще к чтению, заводила общие разговоры.
Новостью дня в этот день в Петербурге была болезнь графини Безуховой. Графиня несколько дней тому назад неожиданно заболела, пропустила несколько собраний, которых она была украшением, и слышно было, что она никого не принимает и что вместо знаменитых петербургских докторов, обыкновенно лечивших ее, она вверилась какому то итальянскому доктору, лечившему ее каким то новым и необыкновенным способом.
Все очень хорошо знали, что болезнь прелестной графини происходила от неудобства выходить замуж сразу за двух мужей и что лечение итальянца состояло в устранении этого неудобства; но в присутствии Анны Павловны не только никто не смел думать об этом, но как будто никто и не знал этого.
– On dit que la pauvre comtesse est tres mal. Le medecin dit que c"est l"angine pectorale. [Говорят, что бедная графиня очень плоха. Доктор сказал, что это грудная болезнь.]
– L"angine? Oh, c"est une maladie terrible! [Грудная болезнь? О, это ужасная болезнь!]
– On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l"angine… [Говорят, что соперники примирились благодаря этой болезни.]

Есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. См. геометрический смысл тензора Риччи.

Формальное определение

Пусть texvc - n- мерное риманово многообразие , а Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_pM - касательное пространство к M в точке p . Для любой пары Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi, \eta\in T_pM касательных векторов в точке p , тензор Риччи Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ric} (\xi , \eta) , по определению, отображает Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\xi, \eta) в след линейного автоморфизма Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_pM\to T_pM , заданного тензором кривизны Римана R :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \zeta \mapsto R(\zeta,\eta) \xi

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Ric} = R_{ij}\,dx^i \otimes dx^j

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): R_{ij} = {R^k}_{ikj}. - след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (M,g) можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты , в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \delta_{ij} (или метрике Минковского Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \eta_{ij} в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): d\mu_g = \Big[ 1 - \frac{1}{6}R_{jk}x^jx^k+ O(|x|^3)\Big] d\mu_{{\rm Euclidean}}

Таким образом, если кривизна Риччи Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \textrm{Ric}(\xi , \xi) положительна в направлении вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \xi будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым.

Кривизна Риччи и геометрия в целом

Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc есть полное Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc -мерное риманово многообразие с Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Ric}_M\ge (n-1)\kappa

• Неравенство Бишопа - Громова . Пусть Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p\in M , обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): v_p(r) есть объём шара радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc с центром в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p . обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \tilde v(r) объём шара радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r в Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n -мерном пространстве постоянной кривизны Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \kappa . Тогда отношение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{v_p(r)}{\tilde v(r)}

есть невозрастающая функция от Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r .

• Из тождества Бохнера для 1-форм следует, что если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \kappa=1 то собственные числа лапласиана на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M не меньше чем у единичной Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n -мерной сферы.

Приложения тензора Риччи

• Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна .

• Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.

См. также

Напишите отзыв о статье "Тензор Риччи"

Отрывок, характеризующий Тензор Риччи

– Так что же вы решили, Изидора? – весело спросил Папа. – Как я уже говорил вам ранее, именно от этого зависит, как скоро вы увидите Анну. Я надеюсь, вы не заставите меня принимать самые жестокие меры? Ваша дочь стоит того, чтобы её жизнь не оборвалась так рано, не правда ли? Она и впрямь очень талантлива, Изидора. И мне искренне не хотелось бы причинять ей зла.
– Я думала, вы знаете меня достаточно давно, ваше святейшество, чтобы понять – угрозы не изменят моего решения... Даже самые страшные. Я могу умереть, не выдержав боли. Но я никогда не предам то, для чего живу. Простите меня, святейшество.
Караффа смотрел на меня во все глаза, будто услышал что-то не совсем разумное, что очень его удивило.
– И вы не пожалеете свою прекрасную дочь?!. Да вы более фанатичны, чем я, мадонна!..
Воскликнув это, Караффа резко встал и удалился. А я сидела, совершенно онемевшая. Не чувствуя своего сердца, и не в состоянии удержать разбегавшиеся мысли, будто все мои оставшиеся силы ушли на этот короткий отрицательный ответ.
Я знала, что это конец... Что теперь он возьмётся за Анну. И не была уверенна, смогу ли выжить, чтобы всё это перенести. Не было сил думать о мести... Не было сил думать вообще ни о чём... Моё тело устало, и не желало более сопротивляться. Видимо, это и был предел, после которого уже наступала «другая» жизнь.
Я безумно хотела увидеть Анну!.. Обнять её хотя бы раз на прощание!.. Почувствовать её бушующую силу, и сказать ей ещё раз, как сильно я её люблю...
И тут, обернувшись на шум у двери, я её увидела! Моя девочка стояла прямая и гордая, как негнущаяся тростинка, которую старается сломать надвигающийся ураган.
– Что ж, побеседуйте с дочерью, Изидора. Может быть, она сможет внести хоть какой-то здравый смысл в ваше заблудившееся сознание! Я даю вам на встречу один час. И постарайтесь взяться за ум, Изидора. Иначе эта встреча будет для вас последней...
Караффа не желал более играть. На весы была поставлена его жизнь. Так же, как и жизнь моей милой Анны. И если вторая для него не имела никакого значение, то за первую (за свою) он был готов пойти на всё.
– Мамочка!.. – Анна стояла у двери, не в состоянии пошевелиться. – Мама, милая, как же мы его уничтожим?.. Не сумеем ведь, мамочка!
Вскочив со стула, я подбежала к моему единственному сокровищу, моей девочке и, схватив в объятия, сжала что было сил...
– Ой, мамочка, ты меня так задушишь!.. – звонко засмеялась Анна.
А моя душа впитывала этот смех, как приговорённый к смерти впитывает тёплые прощальные лучи уже заходящего солнца...
– Ну что ты, мамочка, мы ведь ещё живы!.. Мы ещё можем бороться!.. Ты ведь мне сама говорила, что будешь бороться, пока жива... Вот и давай-ка думать, можем ли мы что-то сделать. Можем ли мы избавить мир от этого Зла.
Она снова меня поддерживала своей отвагой!.. Снова находила правильные слова...
Эта милая храбрая девочка, почти ребёнок, не могла даже представить себе, каким пыткам мог подвергнуть её Караффа! В какой зверской боли могла утонуть её душа... Но я-то знала... Я знала всё, что её ждало, если я не пойду ему навстречу. Если не соглашусь дать Папе то единственное, что он желал.
– Хорошая моя, сердце моё... Я не смогу смотреть на твои мучения... Я тебя не отдам ему, моя девочка! Севера и ему подобных, не волнует, кто останется в этой ЖИЗНИ... Так почему же мы должны быть другими?.. Почему нас с тобой должна волновать чья-то другая, чужая судьба?!.
Я сама испугалась своих слов... хотя в душе прекрасно понимала, что они вызваны всего лишь безысходностью нашего положения. И, конечно же, я не собиралась предавать то, ради чего жила... Ради чего погиб мой отец и бедный мой Джироламо. Просто, всего на мгновение захотелось поверить, что мы можем вот так взять и уйти из этого страшного, «чёрного» караффского мира, забыв обо всём... забыв о других, незнакомых нам людях. Забыв о зле...

Дважды ковариантный тензор, получаемый из Римана тензора . путем свертывания верхнего индекса с нижним:

В римановом пространстве V n P. т. является симметрическим: . В результате свертывания Р. т. с контравариантным метрич. тензором g ij пространства V n получается скалярная величина R = g ij R ij , называемая и н в а р и а н т о м к р и в и з н ы, или скалярной кривизной V n . Компоненты Р. т. выражаются через основной метрич. тензор g ij пространства V n :

где - символы Кристоффеля 2-го рода, вычисленные относительно тензора g ij .

Тензор введен Г. Риччи .

Лит.: R i с с i G., "Atti Reale Inst. Veneto", 1903-04, t. 53, № 2, p. 1233-39; Э й з е н х а р т Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948. Л. А. Сидоров.

• - р и м а н о в а м н о г о о бр а з и я M в т о ч к е - число, сопоставляемое каждому одномерному подпространству из касательного пространства М р по формуле где cR - Риччи тензор, v - вектор, порождающий одномерное...

  Математическая энциклопедия

• - для того чтобы поверхность Sс метрикой ds2 и гауссовой кривизной была локально изометрична нек-рой минимальной поверхности F, необходимо и достаточно, чтобы метрика имела гауссову кривизну. И. Х. Сабитов...

  Математическая энциклопедия

• - 1) Тождество, выражающее одно из свойств Римана тензора: Для ковариантного тензора тождество имеет вид т. е. циклирование по трем первым индексам дает нуль. 2) Тождество, к-рому должны удовлетворять...

  Математическая энциклопедия

• - 1676, Венеция - 1729, Венеция. Итальянский живописец...
• - 1659, Беллуно - 1734, Венеция. Итальянский живописец венецианской школы. Учился в Венеции у С. Маццони и Ф. Червелли, последователя Луки Джордано, затем в Болонье у Дж. Дж. дель Соле, подражавшего манере Веронезе...

  Европейское искусство: Живопись. Скульптура. Графика: Энциклопедия

• - 1765, Флоренция - 1837, Флоренция. Итальянский скульптор. Мастер тосканской школы эпохи неоклассицизма. Ученик И. Спинацци и Ф. Каррадори в Академии художеств Флоренции. Испытал влияние А. Кановы...

  Европейское искусство: Живопись. Скульптура. Графика: Энциклопедия

• - Руджеро - амер. скрипач. Ученик Л. Персингера. Дебютировал в 10-летнем возрасте в Сан-Франциско концертом Ф. Мендельсона. С 1932 гастролировал во мн. странах, в 1957 совершил кругосветное конц. турне...

  Музыкальная энциклопедия

• Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - итальянский писатель, генерал, род. в 1832 г.; участвовал в крымской кампании, в 1859 г. отличился в сражении при Сольферино; командовал дивизией, потом корпусом. В 1885 г. избран в палату депутатов...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - итальянский гуманист; написал: "Apparatus latinae locutionis" , "De imitatione lib. III" , "Le Balie" . Сочинения Р. изданы в 1748 г. в Падуе...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - генерал ордена иезуитов. Во время бытности его генералом иезуиты были изгнаны из Португалии, Франции, Испании и Неаполя...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - реформатор католической церкви в Тосканском герцогстве...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - французский модельер-дизайнер. С 1905 начала заниматься созданием моделей одежды. В 1932 основала собственную фирму и открыла для элегантных женщин "бутик" , который сразу стал пользоваться большой популярностью...

  Большой энциклопедический словарь

"РИЧЧИ ТЕНЗОР" в книгах

Новая фаворитка Мария-Анна де Риччи-Валевская

Из книги Легендарные фаворитки. «Ночные королевы» Европы автора Нечаев Сергей Юрьевич

Новая фаворитка Мария-Анна де Риччи-Валевская Вернувшись в Париж, император на некоторое время возомнил себя великим Наполеоном, манеры которого он копировал с семи лет. Он прибыл в ореоле военной славы. Мария-Анна де Риччи-Валевская, новая фаворитка, ждала его.Молодая

РИЧЧИ НИНА

Из книги 100 знаменитостей мира моды автора Скляренко Валентина Марковна

РИЧЧИ НИНА Настоящее имя – Мари Адэланд Ньели(род. в 1883 г. – ум. в 1970 г.) Одна из наиболее значительных фигур в мире моды XX столетия. Она не только была ведущим модельером своего времени, но и создала один из знаменитейших Домов моды. Nina Ricci сегодня, как и 70 лет назад,

Маттео Риччи

Из книги Золотые правила фэншуй. 10 простых шагов к успеху, благополучию и долголетию автора Огудин Валентин Леонидович

Маттео Риччи Начиная с VII в. в Китай из стран Ближнего Востока стали переселяться христиане несторианского толка. Их количество заметно увеличилось после завоевания в XIII в. страны монголами. Они построили несколько церквей в городах и имели несколько десятков тысяч

Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора

Из книги Гиперпространство автора Каку Мичио

Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора Риману понадобилось несколько месяцев, чтобы оправиться от последствий нервного срыва. Его доклад, наконец прочитанный в 1854 г., приняли с воодушевлением. В ретроспективе это был, бесспорно, один из наиболее выдающихся

Из книги История города Рима в Средние века автора Грегоровиус Фердинанд

3. Урбан V, папа. - Война против Бернабо. - Рим чествует папу. - Россо де Риччи, сенатор, 1362 г. - Римляне приглашают папу вернуться. - Мир с Веллетри. - Мир с Бернабо. - Государственная деятельность Альборноца. - Ревизия римских статутов. - Продолжение демократического

Нина Риччи

Из книги 100 великих творцов моды автора Скуратовская Марьяна Вадимовна

Нина Риччи (1883–1970)В отличие от своих знаменитых коллег, Габриэль Шанель и Эльзы Скьяпарелли, она не была новатором. Нет. Она просто старалась делать женщин безупречно женственными, а разве этого мало? А её дом моды в результате оказался одним из немногих, возникших в ту Из книги Христианство и китайская культура автора

Тензор Риччи, точно так же как метрический тензор , есть симметричная билинейная форма на касательном пространстве риманова многообразия . Грубо говоря, тензор Риччи измеряет деформацию объёма , то есть степень отличия n -мерных областей n -мерного многообразия от аналогичных областей евклидова пространства. Смотри геометрический смысл тензора Риччи.

Обычно обозначается R i c {displaystyle mathrm {Ric} } или .

Определение

Пусть - n- мерное риманово многообразие , а T p M {displaystyle T_{p}M} - касательное пространство к M в точке p . Для любой пары ξ , η ∈ T p M {displaystyle xi ,eta in T_{p}M} касательных векторов в точке p , тензор Риччи R i c (ξ , η) {displaystyle mathrm {Ric} (xi ,eta)} , по определению, отображает (ξ , η) {displaystyle (xi ,eta)} в след линейного автоморфизма T p M → T p M {displaystyle T_{p}Mto T_{p}M} , заданного тензором кривизны Римана R :

ζ ↦ R (ζ , η) ξ {displaystyle zeta mapsto R(zeta ,eta)xi }

Если на многообразии заданы локальные координаты, то тензор Риччи можно разложить по компонентам:

Ric = R i j d x i ⊗ d x j {displaystyle operatorname {Ric} =R_{ij},dx^{i}otimes dx^{j}}

где R i j = R k i k j . {displaystyle R_{ij}={R^{k}}_{ikj}.} - след тензора Римана в координатном представлении.

Геометрический смысл

В окрестности любой точки p риманова многообразия (M , g) {displaystyle (M,g)} можно всегда определить специальные локальные координаты, так называемые нормальные геодезические координаты, в которых геодезические из точки p совпадают с прямыми, проходящими через начало координат. Кроме того, в самой точке p метрический тензор равен метрике евклидова пространства δ i j {displaystyle delta _{ij}} (или метрике Минковского η i j {displaystyle eta _{ij}} в случае псевдориманова многообразия).

В этих специальных координатах форма объема раскладывается в ряд Тейлора вокруг p :

d μ g = [ 1 − 1 6 R j k x j x k + O (| x | 3) ] d μ Евклида {displaystyle dmu _{g}={Big [}1-{frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O(|x|^{3}){Big ]}dmu _{text{Евклида}}}

Таким образом, если кривизна Риччи Ric (ξ , ξ) {displaystyle {textrm {Ric}}(xi ,xi)} положительна в направлении вектора ξ {displaystyle xi } , то узкий конус геодезических, исходящих из точки p в направлении ξ {displaystyle xi } , будет иметь меньший объем, чем такой же конус в евклидовом пространстве. Аналогично, если кривизна Риччи отрицательна, то узкий конус геодезических в направлении вектора ξ {displaystyle xi } будет иметь объем, больший по сравнению с евклидовым. с Ric M ≥ (n − 1) κ {displaystyle operatorname {Ric} _{M}geq (n-1)kappa }

есть невозрастающая функция от r {displaystyle r} .

Приложения тензора Риччи

• Тензор кривизны Риччи в общей теории относительности служит ключевым компонентом уравнений Эйнштейна .

• Кривизна Риччи также появляется в уравнении потока Риччи , в котором зависящая от времени метрика деформируется пропорционально кривизне Риччи со знаком минус.