x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

x 1

+x 2

+x 3

≤ = ≥

≤ = ≥

≤ = ≥

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Симплекс метод

Примеры решения ЗЛП симплекс методом

Пример 1. Решить следующую задачу линейного программирования:

Правая часть ограничений системы уравнений имеет вид:

Запишем текущий опорный план:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x при . min (40:6, 28:2)=20/3 соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 3 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 2 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на -1/3, 1/6, 1/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор x 1 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . min(44/3:11/3, 62/3:5/3)=4 соответствует строке 2. Из базиса выходит вектор x 4 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 2. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 3, 4 со строкой 2, умноженной на 1/11, -5/11, 9/11, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение можно записать так: .

Значение целевой функции в данной точке: F (X )=.

Пример 2. Найти максимум функции

Р е ш е н и е.

Базисные векторы x 4 , x 3 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 3 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на 4. Обнулим все элементы столбца x 3 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на 1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательный элемент (-11), следовательно в базис входит вектор x 2 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при . Все следовательно целевая функция неограничена сверху. Т.е. задача линейного программирования неразрешима.

Примеры решения ЗЛП методом искусственного базиса

Пример 1. Найти максимум функции

Р е ш е н и е. Так как количество базисных векторов должен быть 3, то добавляем искусственное переменное, а в целевую функцию добавляем это переменное, умноженное на −M, где M, очень большое число:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы следовательно, все элементы в столбцах ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-5), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор Сделаем исключение Гаусса для столбца учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строку 5 со строкой 3, умноженной на 1. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-3), следовательно в базис входит вектор Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 1. Из базиса выходит вектор x 2 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 1 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 1. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 2, 3, 4 со строкой 1, умноженной на 3/2, -1/10, 3/2, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Данный опорный план не является оптимальным, так как в последней строке есть отрицательные элементы. Самый большой по модулю отрицательный элемент (-13/2), следовательно в базис входит вектор x 3 . Определяем, какой вектор выходит из базиса. Для этого вычисляем при соответствует строке 3. Из базиса выходит вектор x 5 . Сделаем исключение Гаусса для столбца x 3 , учитывая, что ведущий элемент соответствует строке 3. Обнулим все элементы этого столбца, кроме ведущего элемента. Для этого сложим строки строки 1, 2, 4 со строкой 3, умноженной на 5/3, 25/9, 65/9, соответственно. Далее делим строку с ведущим элементом на ведущий элемент.

Симплекс таблица примет следующий вид:

Текущий опорный план является оптимальным, так как в строках 4−5 под переменными нет отрицательных элементов.

Решение исходной задачи можно записать так:

Пример 2. Найти оптимальный план задачи линейного программирования:

Матрица коэффициентов системы уравнений имеет вид:

Базисные векторы x 4 , x 5 , x 6 , следовательно, все элементы в столбцах x 4 , x 5 , x 6 , ниже горизонтальной линии должны быть нулевыми.

Обнулим все элементы столбца x 4 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 4 со строкой 1, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 5 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 2, умноженной на -1. Обнулим все элементы столбца x 6 , кроме ведущего элемента. Для этого сложим строку 5 со строкой 3, умноженной на -1.

Симплекс таблица примет вид:

В строке 5 элементы, соответствующие переменным x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 неотрицательны, а число находящийся в пересечении данной строки и столбца x 0 отрицательнo. Тогда исходная задача не имеет опорного плана. Следовательно она неразрешима.

+
x 1 - 2 x 2 + S 1 = 2
2 x 1 3 x 2 - S 2 = 4
- 2 x 1 + x 2 + S 3 = 2



Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число).
Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис.
Переменные, которые не являются базисными, называются свободными. (см. систему ниже)

Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не больше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции).
Очевидно, количество всевозможных базисов для любой задачи число конечное (и не очень большое).
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен.

Как осуществляется переход от одного базиса к другому?
Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (сравните сами). Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время.
B выделенной строке выбираем наименьший отрицательный коэффициент. Это необходимо для того, чтобы получить значение функции, как минимум, не больше имеющегося.
Выбран столбец.
Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался положительным.
Выбрана строка.
Следовательно, определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.


+
x 1 - 2 x 2 + S 1 = 2
2 x 1 3 x 2 - S 2 + R 1 = 4
- 2 x 1 + x 2 + S 3 = 2

x 1 = 0 x 2 = 0 S 2 = 0
S 1 = 2 S 3 = 2 R 1 = 4 		=> W = 4

Шаг №1
x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 R 1 св. член Θ
1 -2 1 0 0 0 2
2 3 0 -1 0 1 4 4: 3 ≈ 1,33
-2 1 0 0 1 0 2 2: 1 = 2
-2 -3 0 1 0 0 W - 4
1 -2 1 0 0 0 2
2/3 1 0 -1/3 0 1/3 4/3
-2 1 0 0 1 0 2
-2 -3 0 1 0 0 W - 4
7/3 0 1 -2/3 0 2/3 14/3
2/3 1 0 -1/3 0 1/3 4/3
-8/3 0 0 1/3 1 -1/3 2/3
0 0 0 0 0 1 W - 0


+
7/3 x 1 + S 1 - 2/3 S 2 = 14/3
2/3 x 1 + x 2 - 1/3 S 2 = 4/3
- 8/3 x 1 1/3 S 2 + S 3 = 2/3


4. Нахождение наименьшего значения функции F.

Шаг №1
x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 св. член Θ
7/3 0 1 -2/3 0 14/3 14/3: 7/3 = 2
2/3 1 0 -1/3 0 4/3 4/3: 2/3 = 2
-8/3 0 0 1/3 1 2/3
-7/3 0 0 5/3 0 F - 20/3
1 0 3/7 -2/7 0 2
2/3 1 0 -1/3 0 4/3
-8/3 0 0 1/3 1 2/3
-7/3 0 0 5/3 0 F - 20/3
1 0 3/7 -2/7 0 2
0 1 -2/7 -1/7 0 0
0 0 8/7 -3/7 1 6
0 0 1 1 0 F - 2

S 1 = 0 S 2 = 0
x 1 = 2 x 2 = 0 S 3 = 6 		=> F - 2 = 0 => F = 2
Среди коэффициентов выделенной строки нет отрицательных. Следовательно, найдено наименьшее значение функции F.

Алгоритм метода искусственного базиса имеет следующие особенности:

1. Ввиду того, что начальное опорное решение расширенной задачи содержит искусственные переменные, входящие в целевую функцию с коэффициентом —М (в задаче на максимум) или +М (в задаче на минимум), оценки разложений векторов условий состоят из двух слагаемых и , одно из которых не зависит от М , а другое зависит от М . Так как М скольугодно велико по сравнению с единицей (М>> 1), то на первом этапе расчета для нахождения векторов, вводимых в базис, используются только слагаемые оценок .

2. Векторы, соответствующие искусственным переменным, которые выводятся из базиса опорного решения, исключаются из рассмотрения.

3. После того, как все векторы, соответствующие искусственным переменным, исключаются из базиса, расчет продолжается обычным симплексным методом с использованием оценок , не зависящих от М.

4. Переход от решения расширенной задачи к решению исходной задачи производится с использованием доказанных выше теорем 4.1-4.3.

Пример 4.4. Решить задачу линейного программирования методом искусственного базиса

.

Решение . Составляем расширенную задачу. В левые части уравнений системы ограничений вводим неотрицательные искусственные переменные с коэффициентом (всегда) +1. Удобно справа от уравнений записать вводимые искусственные переменные. В первое уравнение вводим , во второе — . Данная задача — задача на нахождение максимума, поэтому и в целевую функцию вводятся с коэффициентом — М . Получаем

Задача имеет начальное опорное решение с единичным базисом .

Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и значение целевой функции на опорном решении.



.
.

Записываем исходные данные в симплексную таблицу (табл. 4.6).



Т а б л и ц а 4.6

При этом оценки и для удобства вычислений записываем в две строки: в первую — слагаемые , не зависящие от М , во вторую — слагаемые , зависящие от М . Значения удобно указывать без М , имея в виду однако, что оно там присутствует.

Начальное опорное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум имеются отрицательные оценки. Выбираем номер вектора , вводимого в базис опорного решения, и номер вектора , выводимого из базиса. Для этого вычисляем приращения целевой функции при введении в базис каждого из векторов с отрицательной оценкой и находим максимум этого приращения. При этом слагаемыми оценок (без М ) пренебрегаем до тех пор, пока хотя бы одно слагаемое (с М ) не будет отлично от нуля. В связи с этим строка со слагаемыми оценок может отсутствовать в таблице до тех пор, пока присутствует строка . Находим при k = 3.

В третьем столбце " " за разрешающий элемент выбираем коэффициент 1 во второй строке и выполняем преобразование Жордана.

Вектор , выводимый из базиса, исключаем из рассмотрения (вычеркиваем). Получаем опорное решение с базисом (табл. 4.7). Решение не является оптимальным так как имеется отрицательная оценка = — 1.

Т а б л и ц а 4.7

В столбце " " единственный положительный элемент принимаем за разрешающий и переходим к новому опорному решению с базисом (табл. 4.8).


Т а б л и ц а 4.8

Данное опорное решение является единственным оптимальным решением расширенной задачи, так как в задаче на максимум оценки для всех векторов, не входящих в базис, положительны. По теореме 4.1 исходная задача также имеет оптимальное решение, которое получается из оптимального решения расширенной задачи отбрасыванием нулевых искусственных переменных, т. е. Х * = (0,0,6,2).

Ответ : max Z (X ) = -10 при .

Пример 4.5. Решить методом искусственного базиса задачу линейного программирования со смешанными ограничениями

Решение . Приводим задачу линейного программирования к каноническому виду. Для этого вводим дополнительные переменные и в первое и третье ограничения соответственно. Получаем

.

Составляем расширенную задачу, для чего вводим искусственные переменные и во второе и третье уравнения соответственно. Получаем

Данная расширенная задача имеет начальное опорное решение

С единичным базисом , . Вычисляем оценки векторов условий по базису опорного решения и записываем в симплексную таблицу так же, как в предыдущем примере. Решение не является оптимальным, так как в задаче на минимум векторы и имеют положительные оценки . Улучшаем опорные решения. Каждому опорному решению соответствует своя таблица. Все таблицы можно записать друг под другом, объединив в единую таблицу (табл. 4.9).

Т а б л и ц а 4.9

Определяем, введение какого из векторов или в базис начального опорного решения приведет к большему уменьшению целевой функции. Находим при k = 2, т. е. лучше ввести в базис вектор . Получаем второе опорное решение с базисом . Целевая функция . Это решение также не является оптимальным, так как вектор имеет положительную оценку . Вводим вектор в базис, получаем третье опорное решение с базисом . Целевая функция . Это решение оптимальное, но не единственное, так как вектор , не входящий в базис, имеет нулевую оценку. Поэтому необходимо перейти к новому опорному решению, которое также будет оптимальным. Для этого требуется ввести в базис вектор .

Переходим к четвертому опорному (оптимальному) решению

С базисом , при этом . Оптимальные решения расширенной задачи , имеют нулевые искусственные переменные. Поэтому (по теореме 4.1) исходная задача также имеет два оптимальных решения и . Дополнительные переменные в оптимальном решении исходной задачи не записываем.

Ответ : при , , , .

Слово симплекс

Слово симплекс английскими буквами(транслитом) — simpleks

Слово симплекс состоит из 8 букв: е и к л м п с с

Значения слова симплекс. Что такое симплекс?

Симплекс

Симплекс (от лат. simplex - простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. При n = 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр.

БСЭ. - 1969-1978

Симплекс - выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.

slovar-lopatnikov.ru

СИМПЛЕКС - выпуклый многоугольник в n-мерном пространстве с n+1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости. С. выделены в отдельный класс потому, что в n-мерном пространстве n точек всегда лежат в одной гиперплоскости.

Лопатников. - 2003

Саб симплекс

Саб симплекс Способ применения и дозы: Внутрь, во время или после еды и, при необходимости, перед сном. Перед применением следует активно встряхнуть флакон.

Решение ЗЛП симплекс методом с искусственным базисом

Чтобы суспензия начала поступать из пипетки…

Саб симплексДействующее вещество ›› Симетикон* (Simethicone*) Латинское название Sab simplex АТХ:›› A02DA Ветрогонные препараты Фармакологическая группа…

Словарь медицинских препаратов. — 2005

САБ® СИМПЛЕКС (SAB® SIMPLEX) Суспензия для приема внутрь от белого до серо-белого цвета, слегка вязкая, с характерным фруктовым (ванильно-малиновым) запахом. 100 мл симетикон 6.919 г…

ШОКЕ СИМПЛЕКС

ШОКЕ СИМПЛЕКС — непустое компактное выпуклое множество Xв локально выпуклом пространстве E, обладающее следующим свойством: при вложении Ев качестве гиперплоскости в пространство проектирующий конус.

Шеффилд-Симплекс

«Шеффилд-Симплекс» (англ. Sheffield-Simplex) - лёгкий пулемётный бронеавтомобиль Вооружённых сил Российской империи. Разработан британской фирмой «Sheffield-Simplex» на базе шасси собственного легкового автомобиля…

ru.wikipedia.org

Нордитропин Симплекс

Нордитропин Симплекс Показания: Задержка роста у детей вследствие недостаточности гормона роста или хронической почечной недостаточности (в препубертатном возрасте), синдрома Шерешевского - Тернера…

НОРДИТРОПИН® СИМПЛЕКС® (NORDITROPIN SimpleXx) Раствор для п/к введения 1.5 мл (1 картридж) соматропин 10 мг 1.5 мл — картриджи (1) — упаковки ячейковые контурные (1) — пачки картонные.

Справочник лекарственных препаратов "Видаль"

СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС

СТАНДАРТНЫЙ СИМПЛЕКС — 1) С. с.- симплекс размерности пв пространстве с вершинами в точках е i=(0,…, 1,…, 0), i=0,…, п(единица стоит на i-м месте), т. е.

Математическая энциклопедия. — 1977-1985

Двойственный симплекс-метод

Двойственный симплекс-метод можно применять при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой могут быть любыми числами. В обычном симплексном алгоритме план всегда должен быть допустимым.

ru.wikipedia.org

Русский язык

Си́мпле́кс/.

Морфемно-орфографический словарь. - 2002

Поиск Лекций

Пример решения задачи методом искусственного базиса.

Найти минимум функции F=-2×1+3×2 — 6×3 — x4 при условиях

Решение. Запишем данную задачу в форме основной задачи: найти максимум функции F1=2×1 – 3×2 + 6×3 + x4 при условиях

В системе уравнений последней задачи рассмотрим векторы из коэффициентов при неизвестных:

А1 = А2 = А 3= А 4= А 5= А 6=

Среди векторов А1 ,…, А 6 только два единичных (А 4 и А 5). Поэтому в левую часть третьего уравнения системы ограничений добавим дополнительную неотрицательную переменную x 7 и рассмотрим расширенную задачу, состоящую в максимизации функции

F=2×1 – 3×2 + 6×3 + x4 – Mx7

при условиях

Расширенная задача имеет опорный план X=(0; 0; 0; 24; 22; 0; 10), определяемый системой трех единичных векторов: А 4 , А5 , А7 .

Таблица 1

i Базис Сσ А0 -3 —M
А1 А2 А3 А4 А5 А6 P7
А4 -2
А5
А7 —M -1 -1
m +1 -8
m +2 -10 -1 -2

Составляем таблицу (1) I итерации, содержащую пять строк. Для заполнения 4-й и 5-й строк находим F 0 и значения разностей zj – cj (j= ):

F 0 = 24–10M;

z1–c1 = 0–M ;

z2–c2 = 4+M ;

z3–c3 = –8–2M ;

z4–c4 =0+M ;

z5–c5 =0+M ;

z6–c6 = 0+M ;

z7–c7 =0+M ;

Значения F 0 и zj–cj состоят из двух слагаемых, одно из которых содержит M , а другое – нет.

Для удобства итерационного процесса число, состоящее при M , записываем в 5-й строке, а слагаемое, которое не содержит M ,– в 4-й строке.

В 5-й строке табл.1 в столбцах векторов Аj (j = ) имеется два отрицательных числа (-1 и -2). Наличие этих чисел говорит о том, что данный опорный план расширенной задачи не является оптимальным. Переходим к новому опорному плану расширенной задачи.

Метод искусственного базиса.

В базис вводим вектор А3 . Чтобы определить вектор, исключаемый из базиса, находим θ=min(22/4; 10/2)=10/2. Следовательно, вектор А7 исключаем из базиса. Этот вектор не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов, поэтому в дальнейшем столбец данного вектора не заполняется (табл. 2 и 3).

Составляем таблицу II итерации (табл. 2). Она содержит только четыре строки, так как искусственный вектор из базиса исключен.

Таблица2

i Базис Сσ А0 -3
А1 А2 А3 А4 А5 А6
А4 -1
А5 -1
А3 1/2 -1/2 -1/2
m +1 -4

Как видно из табл. 2, для исходной задачи опорным является план Х =(0;0;5;34;2).

Проверим его на оптимальность. Для этого рассмотрим элементы 4-й строки. В этой строке в столбце вектора А6 имеется отрицательное число (-4). Следовательно, данный опорный план не является оптимальным и может быть улучшен благодаря введению в базис вектора А6. Из базиса исключается вектор А5 . Составляем таблицу III итерации.

Таблица 3

В 4-й строке табл.3 среди чисел ∆j нет отрицательных. Это означает, что найденный новый опорный план исходной задачи Х *=(0; 0; 11/2; 35; 0; 1) является оптимальным. При этом плане значение линейной формы Fmax = 68.

Решение данной задачи можно проводить, используя одну таблицу, в которой последовательно записаны все итерации.

©2015-2018 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Метод искусственного базиса (или метод “М”) может быть применен для решения задачи ЛП, если ее система ограничений, помимо неравенств смысла “≤” имеет неравенства смысла “≥” или строгие равенства. Рассмотрим задачу ЛП, заданную в самом общем виде.

Найти экстремум функции

Алгоритм метода «М».

1. От системы неравенств переходим к системе уравнений, вводя дополнительные неотрицательные переменные:

2. В ограничения, в которые дополнительные неотрицательные переменные вошли со знаком минус или вообще не вошли, вводятся так называемые искусственные переменные:

3. В линейную форму (1.26) вводится сумма искусственных переменных с коэффициентом M>0. Для того, чтобы искусственные переменные не содержались в оптимальном плане исходной задачи, коэффициенту М придается произвольно большое значение по сравнению с коэффициентами линейной формы (1.26). В этом случае при максимизации функции цели (1.26), берем (-М), при минимизации (+М).

4. Строим расширенную М – задачу ЛП:


найти экстремум линейной формы


при следующих ограничениях:

Найдем первоначальный опорный план М – задачи.

Так как дополнительные неотрицательные переменные и искусственные переменные входят в ограничения с положительными единичными коэффициентами, которые составляют систему линейно-независимых векторов как столбцы единичной матрицы, то упомянутые переменные будут являться базисными, а все остальные – свободными, т.е.


Тогда первоначальный опорный план будет иметь вид:

6. Для отыскания оптимального плана расширенной М – задачи составляют симплекс-таблицу, которая на одну строку больше, чем обычная. В эту (m+2) индексную строку записываются соответствующий коэффициенты при М, входящими в целевую функцию с противоположным знаком.

Проверяется признак оптимальности по (m+2)-й строке и определяется переменная, подлежащая включению в базис. Симплекс-процедуру по (m+2) индексной строке проводят до тех пор, пока по этой строке не будет выполнен признак оптимальности. Затем процесс отыскания оптимального плана продолжают по (m+1) индексной строке.

7. Анализируем оптимальный план М – задачи. Если в этом плане все искусственные переменные равны нулю, т.е. то план X(x 1 , x 2 , …, x n) является оптимальным планом исходной задачи. Если же в оптимальном плане М – задачи хотя бы одна искусственная переменная не равна нулю, т.е. то исходная задача решения не имеет.



Если в процессе решения М – задачи устанавливаем ее не разрешимость, то неразрешима и исходная задача.

Решение контрольного примера.

Найти минимум функции


при следующих ограничениях:

1. От системы неравенств переходим к системе уравнений, вводя в 1-е и во 2-е ограничения дополнительные неотрицательные переменные x 4 и x 5 . Третье уравнение переписываем без изменения:

2. Во 2-е и 3-е уравнения вводим искусственные переменные y 1 и y 2:

3. В линейную форму L(X) вводим сумму y 1 +y 2 с множителем М. Так как задача поставлена на минимум, то множитель М берем со знаком «+».

4. Строим М – задачу. Найти минимум линейной формы

при следующих ограничениях:

5. Решаем эту задачу симплекс-методом. Так как x 4 , y 1 , y 2 являются базисными переменными, то выражаем их через свободные и подставляем в функцию L(X):

6. Строим симплекс-таблицу, которая имеет две индексные строки: в первую, как обычно, записываются коэффициенты Cj, взятые с противоположным знаком, а во вторую – соответствующие коэффициенты при множителе М (тоже с обратным знаком, кроме свободного члена).

Проверяем признак оптимальности по (m+2) индексной строке. Так как задача на минимум, то признак не выполнен, поскольку в столбце x 2 находится положительный элемент 4. Отмечаем этот ключевой столбец стрелкой и , как обычно, выбираем ключевую строку. При выборе ключевой строки получили два одинаковых наименьших значения θ. Чтобы избежать зацикливания, применяем правило Креко. Строки x 1 и y 1 делим на соответствующие элементы ключевого столбца 2 и 4. Результаты от деления читаем слева направо, и ту строку, где первым встретится меньшее число, выбираем за ключевую, т.е.

Отмечаем строку y 1 стрелкой и находим генеральный элемент 4. Затем выполняем обычную симплекс-процедуру и получаем вторую таблицу (таблица 1.2.), в которой опять анализируем (m+2)-ю индексную строку и выбираем столбец x 3 за ключевой.



В результате построения третьей таблицы (таблица 1.2.) получаем оптимальный план расширенной задачи так как по обеим индексным строкам признак оптимальности выполнен.

Вследствие того, что все искусственные переменные выведены из базиса, оптимальным планом исходной задачи является план и

Для рассматриваемой задачи можно построить второе оптимальное решение с тем же самым значением L min =24 (таблица 1.2.). Следовательно, задача имеет множество оптимальных планов где

Таблица 1.2.

№ таблиц Базисные переменные Свободные члены X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 å Q
X 4 -4
Y 1 -1 -2 -1
Y 2 -
L(X) -1 -2 -2 -5 Min
4­ -1 -
X 4 7/2 -3 1/2 -
X 2 -1/4 -1/4 -1/4 -
Y 2
L(X) -3/2 -3 -1/2 Min
2­
X 3 1/2 15/2
X 2 -1/4 27/4 -
X 4 1/2 49/2 18/5
L(X) -1/2 47/2 Min
X 3 21/5 -1/10 -1/20 101/20
X 2 -1/4 27/4
X 4 18/5 1/5 -1/10 49/10
L(X) -1/2 47/2 min

Пусть решаем ЗЛП в виде

В этом случае общая схема симплекс-метода претерпевает некоторые изменения. А именно:

1) Пусть дан базис некоторого опорного решения и соответствующая ему симплекс-таблица . В верхней строке этой таблицы (заголовки столбцов) располагаются свободные переменные, в крайнем левом столбце – базисные переменные; крайний правый столбец – это столбец свободных членов, а самая нижняя строка является строкой целевой функции и называется вектором относительных оценок. Остальное содержимое таблицы - столбцы матрицы ограничений, отвечающие соответствующим столбцам свободных переменных. Координаты вектора относительных оценок находят по правилу: вектор из коэффициентов при базисных переменных в целевой функции скалярно умножить на i -й столбец симплекс-таблицы и вычесть из найденного числа коэффициент целевой функции при соответствующем свободном переменном.

2) Если все относительные оценки (нижняя строка этой таблицы) неотрицательны, то построено оптимальное опорное решение.

3) Если существует отрицательная оценка и соответствующий ей столбец (разрешающий) состоит из неположительных элементов, то имеет место неразрешимость целевой функции Z (X ), то есть max Z (X ) ®+¥.

4) Иначе, выбрать ведущий элемент (задаёт ведущую строку) и сделать с ним шаг жордановых исключений, перейдя к новой симплекс-таблице, которую проанализировать как в пункте 2).

Метод искусственного базиса

Метод искусственного базиса применяется для решения задач ЛП в случае, когда задача не имеет начального опорного решения с базисом из единичных векторов.

Пусть задана задача ЛП в канонической форме, то есть имеет вид (2.1.1), и в ней отсутствует единичный базис. К этой задаче строим вспомогательную задачу (ВЗ):

Здесь w 1 , w 2 ,…, w m – искусственные переменные. Запишем ограничения в векторном виде: A 1 x 1 +A 2 x 2 +…+A n x n +A n +1 w 1 +…+A n + m w m =B , где , , …, , , , …, , . Таким образом, вектора , , …, образуют единичный базис в R m , и все искусственные переменные соответствующие этим векторам будут базисными. Далее строится обычная симплекс-таблица. Если ВЗ не имеет решения в силу неограниченности целевой функции, то исходная задача также не имеет решения по той же причине. Пусть в результате знакомых по симплекс-методу необходимых преобразований получили оптимальную симплекс-таблицу к ВЗ. Очевидно, что максимальное значение целевой функции ВЗ равно 0, то есть max F =0. Если же maxF <0, то исходная задача ЛП не имеет решения в силу несовместности системы ограничений. Предположим, что max F =0. Тогда возможны такие ситуации:

1) все искусственные переменные стали свободными и были исключены из таблицы. В этом случае вычеркиваем столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку. Вместо неё приписываем новую строку оценок, но с использованием исходной целевой функции Z (X ). Тем самым получена начальная симплекс-таблица для исходной задачи ЛП, к которой применяем симплекс-метод;



2) в оптимальном решении ВЗ хотя бы одна искусственная переменная осталась базисной. Тогда:

а) либо все числа в строках, соответствующих оставшимся базисным искусственным переменным, равны 0;

б) либо есть хоть одно отличное от 0.

В первом случае, поступаем также как и пункте 1). Во втором, выбираем любой ненулевой элемент в качестве ведущего и делаем шаг жордановых исключений. Через конечное число шагов мы придем или к пункту 1), или к пункту 2)а).

Заметим, что если среди векторов A j , j =1,2,…,n , были вектора, которые могли бы войти в базис, то искусственные переменные вводят только в те уравнения системы ограничений, в которых отсутствует базисная переменная.

Пример. Максимизировать функцию Z =x 1 +2x 2 -2x 3 при ограничениях

Решение. Преобразуем исходную задачу линейного программирования к канонической (см. (2.1.1). Для этого введём в ограничения дополнительные неотрицательные переменные. А именно, в первое неравенство – переменную x 4 со знаком «+», во второе – x 5 со знаком «-» (см. §2.2). Система ограничений примет вид:

Эту систему запишем в векторной форме: A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 x 4 +A 5 x 5 =B , где

Очевидно, что в данной системе ограничений отсутствует единичный базис. Это означает, что среди векторов A j нет трёх необходимых единичных векторов, которые должны образовывать базис в R 3 . Однако заметим, что вектор A 4 является частью базиса. Ему соответствует базисная переменная x 4 . Необходимо найти ещё два единичных вектора. Для этого применим метод искусственного базиса. Введём искусственные переменные в те уравнения ограничений, в которых не присутствует базисная переменная x 4 и построим следующую вспомогательную задачу (ВЗ):

F =-w 1 -w 2 ®max

где w 1 , w 2 – искусственные переменные. Система ограничений ВЗ в векторном виде имеет вид: A 1 x 1 +A 2 x 2 +A 3 x 3 +A 4 x 4 +A 5 x 5 +A 6 w 1 +A 7 w 2 =B , где вектора A j , j =1,2,3,4,5 определяются также, как и выше, а и . Таким образом, вектора A 4 , A 6 , A 7 образуют базис в R 3 и им соответствуют базисные переменные (БП) – x 4 , w 1 , w 2 . Все остальные переменные, а именно x 1 , x 2 , x 3 , x 5 объявляются свободными (СП). Далее к ВЗ применяем обычный симплекс-метод. Как и раньше, см. §5.1, начальный опорный план получается, если присвоить свободным переменным значения, равные нулю. При этом базисные переменные принимают значения, равные числам в соответствующей строке столбца свободных коэффициентов В , то есть x 1 =x 2 =x 3 =x 5 =0¸ а x 4 =8, w 1 =4, w 2 =12. Строим симплекс-таблицу, соответствующую начальному опорному плану:

СП БП. x 1 x 2 x 3 x 5 B
x 4 -3
w 1 -1
w 2 -2
F -4 -3 -16

С этой таблицей проводим необходимые преобразования (см. §5.1) симплекс-метода, пока не получим оптимальную симплекс-таблицу или не получим неразрешимость. В нашем случае, мы уже на втором шаге будем иметь такую симплекс-таблицу:

СП БП. w 1 x 2 x 3 w 2 B
x 4 -0,5 -3 -0,5 -0,5
x 1 0,25 0,75 0,25
x 5 -0,75 -2
F

Эта таблица будет оптимальной для ВЗ. При этом все искусственные переменные стали свободными и max F =0. Вычеркивая столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку, и приписывая новую строку оценок с использованием исходной целевой функции Z (X ), получим начальную симплекс-таблицу для исходной задачи ЛП:

СП БП. x 2 x 3 B
x 4 -3 -0,5
x 1 0,75
x 5 -2
Z -2 2,75

Проанализировав последнюю таблицу, делаем вывод, что исходная задача ЛП не имеет решения в силу неограниченности целевой функции.

Пример. Минимизировать функцию при ограничениях

Если ввести дополнительные неотрицательные переменные , , , , и перейти к задаче на нахождение максимума целевой функции, исходная задача примет вид:

Базисное решение (допустимый план) будет иметь вид: , а , , w 1 =10, w 2 =5. Строим симплекс-таблицу к ВЗ, соответствующую начальному опорному плану:

СП БП. x 1 x 2 x 3 x 4 B
w 1 -1
w 2 -1
x 5
x 6 -1
F -1 -1 -15

Проводя преобразования по методу Жордана-Гаусса, на втором шаге будем иметь оптимальную симплекс-таблицу ВЗ (5.2.2). Вычеркивая столбцы, соответствующие искусственным переменным и последнюю строку, и приписывая новую строку оценок с использованием целевой функции Z 1 (X ), получим начальную симплекс-таблицу для задачи (5.2.1).