Методика перевода чисел в разные системы исчисления

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков деления, начиная частного с последнего.

а) Выполнить перевод числа 19 в двоичную систему счисления.

Таким образом, 19 = 10011 2

б) Перевести 181 10 ->”8” систему счисления

Результат. 181 10 ->265 8

в) Перевести 622 10 - "16" систему счисления

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение суммы.

а) Перевести 10101101.1012 в десятичную систему счисления

10101101.101 2 = 1 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 0 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 0 2 -2 + 1 2 -3 = 173.625 10

б) Перевести 703.048 в в десятичную систему счисления

703.048 = 7 82+ 0 81+ 3 80+ 0 8-1+ 4 8-2 = 451,062510

в) Перевести B2E.416 в в десятичную систему счисления

B2E.4 16 = 11 16 2 + 2 16 1 + 14 16 0 + 4 16 -1 = 2862,25 10

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (Таб. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (Таб. 1), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.

Для перехода от двоичной к восьмеричной или шестнадцатеричной системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Арифметические операции

Сложение

Выполняется точно также как и в десятичной системе счисления

Вычитание

Вычитание чисел в 2 и 8 СС выполняется по тем же правилам что и в десятичной. Если вычитаемое больше уменьшаемого, разность определяется между большим и меньшим числом, и перед ней ставится знак минус

Умножение

Операция умножения выполняется точно также как и в десятичной системе счисления

Прямой код

Используется при выполнении умножения и деления чисел, а остальные коды для замены вычитания сложением.

0.011 число положительное

1.011 число отрицательное

При выполнении операции умножения или деления двух двоичных дробей знаковые разряды складываются независимо от дробных частей

Обратный код

Применяется для замены операции вычитания сложением

Для положительных чисел: изображение правильной двоичной дроби одинаково в обратном и прямом коде

Для записи отрицательной правильной двоичной дроби в обратном коде необходимо заменить нули единицами и наоборот, а слева от запятой вместо –0 поставить 1

То есть –0,0101=1,1010

Необходимо учитывать:

    При переполнении, когда слева от запятой в результате сложения появляются две цифры, левая крайняя цифра переносится и складывается с младшим разрядом дробной части, а оставшаяся цифра слева от запятой определяет знак результата

    Если число разрядов дробной части отрицательной правильной двоичной дроби меньше числа разрядов дробной части другого слагаемого, то перед тем как перевести отрицательную дробь в обратный код необходимо дополнить ее справа нулями до равенства разрядов второго слагаемого

Если в знаковом разряде числа а обратном коде стоит 1, то для перехода к обычной записи надо в дробной части единицы заменить нулями, а нули – единицами, а слева от запятой записать –0

Дополнительный код

Так же как и обратный применяется для замены вычитания сложением

При этом: изображение положительной правильной двоичной дроби одинаково в прямом, обратном и дополнительном кодах.

Для перевода отрицательной дроби: Необходимо нули заменить единицами, а 1 нулями. К младшему разряду прибавить единицу, затем слева от запятой поставить 1.

Необходимо помнить:

    Все цифры слагаемых, включая и цифры знаковых разрядов, расположенных слева от запятой участвуют в сложении как разряды единого числа

    При переполнении, когда слева от запятой в результате сложения появляются две цифры, левая крайняя цифра отбрасывается, а оставшаяся цифра слева от запятой определяет знак результата

    числа разрядов дробной части другого слагаемого, то перед тем как перевести отрицательную дробь в обратный код необходимо дополнить ее справа нулями до равенства разрядов второго слагаемого

    если в результате сложения слева от запятой получился 1, то число отрицательное, если 0, то положительное (соответственно переводить ничего не нужно)

Назначение сервиса . Сервис предназначен для перевода чисел из одной системы счисления в другую в онлайн режиме. Для этого выберите основание системы, из которой необходимо перевести число. Вводить можно как целые, так и числа с запятой.

Число

Перевод из 10 2 8 16 системы счисления. Перевести в 2 10 8 16 систему счисления .
Для дробных чисел использовать 2 3 4 5 6 7 8 знака после запятой.

Можно вводить как целые числа, например 34 , так и дробные, например, 637.333 . Для дробных чисел указывается точность перевода после запятой.

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Способы представления чисел

Двоичные (binary) числа – каждая цифра означает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, после числа ставится буква «b». Для удобства восприятия тетрады могут быть разделены пробелами. Например, 1010 0101b.
Шестнадцатеричные (hexadecimal) числа – каждая тетрада представляется одним символом 0...9, А, В, ..., F. Обозначаться такое представление может по-разному, здесь используется только символ «h» после последней шестнадцатеричной цифры. Например, A5h. В текстах программ это же число может обозначаться и как 0хА5, и как 0A5h, в зависимости от синтаксиса языка программирования. Незначащий ноль (0) добавляется слева от старшей шестнадцатеричной цифры, изображаемой буквой, чтобы различать числа и символические имена.
Десятичные (decimal) числа – каждый байт (слово, двойное слово) представляется обычным числом, а признак десятичного представления (букву «d») обычно опускают. Байт из предыдущих примеров имеет десятичное значение 165. В отличие от двоичной и шестнадцатеричной формы записи, по десятичной трудно в уме определить значение каждого бита, что иногда приходится делать.
Восьмеричные (octal) числа – каждая тройка бит (разделение начинается с младшего) записывается в виде цифры 0–7, в конце ставится признак «о». То же самое число будет записано как 245о. Восьмеричная система неудобна тем, что байт невозможно разделить поровну.

Алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод целых десятичных чисел в любую другую системы счисления осуществляется делением числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока в остатке не останется число меньшее основания новой системы счис­ления. Новое число записывается в виде остатков деления, начиная с последнего.
Перевод правильной десятичной дроби в другую ПСС осуществляется умножением только дробной части числа на основание новой системы счисления до тех пор пока в дробной части не останутся все нули или пока не будет достигнута заданная точность перевода. В результате выполнения каждой операции умножения формируется одна цифра нового числа начиная со старшего.
Перевод неправильной дроби осуществляется по 1 и 2 правилу. Целую и дробную часть записывают вместе, отделяя запятой.

Пример №1 .



Перевод из 2 в 8 в 16 системы счисления.
Эти системы кратны двум, следовательно, перевод осуществляется с использованием таблицы соответствия (см. ниже).

Для перевода числа из двоичной системы счисления в восьмиричную (шестнадцатиричную) необходимо от запятой вправо и влево разбить двоичное число на группы по три (четыре – для шестнадцатиричной) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние группы. Каждую группу заменяют соответствующей восьмиричной или шестнадцатиричной цифрой.

Пример №2 . 1010111010,1011 = 1.010.111.010,101.1 = 1272,51 8
здесь 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

При переводе в шестнадцатеричную систему необходимо делить число на части, по четыре цифры, соблюдая те же правила.
Пример №3 . 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
здесь 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Перевод чисел из 2 , 8 и 16 в десятичную систему исчисления производят путем разбивания числа на отдельные и умножения его на основание системы (из которой переводится число) возведенное в степень соответствующую его порядковому номеру в переводимом числе. При этом числа нумеруются влево от запятой (первое число имеет номер 0) с возрастанием, а в правую сторону с убыванием (т.е. с отрицательным знаком). Полученные результаты складываются.

Пример №4 .
Пример перевода из двоичной в десятичную систему счисления.

1010010,101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 -2 +1·2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0.5+0+0.125 = 82.625 10 Пример перевода из восьмеричной в десятичную систему счисления. 108.5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0.625 = 72.625 10 Пример перевода из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. 108.5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0.3125 = 264.3125 10

Еще раз повторим алгоритм перевода чисел из одной системы счисления в другую ПСС

  1. Из десятичной системы счисления:
    • разделить число на основание переводимой системы счисления;
    • найти остаток от деления целой части числа;
    • записать все остатки от деления в обратном порядке;
  2. Из двоичной системы счисления
    • Для перевода в десятичную систему счисления необходимо найти сумму произведений основания 2 на соответствующую степень разряда;
    • Для перевода числа в восьмеричную необходимо разбить число на триады.
      Например, 1000110 = 1 000 110 = 106 8
    • Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить число на группы по 4 разряда.
      Например, 1000110 = 100 0110 = 46 16
Позиционной называется система , для которой значимость или вес цифры зависит от ее места расположения в числе. Соотношение между системами выражается таблицей.
Таблица соответствия систем счисления:
Двоичная СС Шестнадцатеричная СС
0000 0
0001 1
0010 2
0011 3
0100 4
0101 5
0110 6
0111 7
1000 8
1001 9
1010 A
1011 B
1100 C
1101 D
1110 E
1111 F

Таблица для перевода в восьмеричную систему счисления