Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Ни один канал не занят (очереди нет),

Занят ровно один канал (очереди нет),

Занято ровно каналов (очереди нет),

Заняты все каналов (очереди нет),

Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

,

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

Следует также заметить, что PMR диапазон можно использовать как на территории РФ, так и за границей, а LPD - только на территории нашей страны. Рации диапазона CB с мощностью передатчика до 10 Вт, диапазона LPD с мощностью до 0,01Вт и PMR с мощностью передатчика до 0,5 Вт не подлежат регистрации.

Многоканальность раций.

В нашей статье мы поговорим о наиболее распространенных каналах, доступных большинству. Радиостанции могут быть одноканальными, двухканальными и многоканальными. В самых простейших рациях есть лишь один канал связи. Однако пользоваться такими девайсами весьма неудобно. В наши дни рации есть у большого количества людей и эфир очень засорен. Вследствие этого большинство радиостанций бывают двух и многоканальными. В любое двухканальное устройство устанавливается дополнительный тумблер для переключения каналов.

Многоканальные устройства оснащены трёхразрядным цифровым индикатором, отображающим номер канала и некоторые режимы работы рации. Программное обеспечение таких радиостанций позволяет вручную забить в память рабочие частоты. Кроме того есть возможность дополнительно записать массив до 80 частот с шагом 25 кГц.

Однако, что делать, если Вы находитесь в месте большого скопления людей и все каналы заняты? Для этого большинство радиостанций оснащены тональным субкодом CTCSS, который применяется для организации субканалов в пределах одного частотного канала. Выставляете с собеседником один и тот же субтон, и говорите с ним на том же канале, что и все, но, не мешая другим. Обращаем внимание, что все PMR/LPD рации при первом включении ставятся на первый канал, из-за чего канал №1 переполнен. Поэтому не забудьте переключить устройство на другой канал и ввести код CTCSS.

Канал для дальнобойщиков.

Самым популярным каналом у автолюбителей является 15 канал. Его еще называют каналом дальнобойщиков. Однако следует учесть, что на разных моделях раций, он может находиться в разных сетках и иметь различные буквы. А еще при выборе автомобильной рации необходимо, чтобы была поддержка режима амплитудной модуляции АМ, без которого 15 канал на дороге не используется.

Теория СМО посвящена разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем, относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие, приведенные системы обладают рядом типичных свойств, а именно.

  • СМО (системы массового обслуживания) - это модели систем , в которые в случайные моменты времени извне или изнутри поступают заявки (требования). Они должны тем или иным образом быть обслужены системой. Длительность обслуживания чаще всего случайна.
  • СМО представляет собой совокупность обслуживающего оборудования и персонала при соответствующей организации процесса обслуживания.
  • Задать СМО – это значит задать ее структуру и статистические характеристики последовательности поступления заявок и последовательности их обслуживания.
Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:
  • показатели, характеризующие систему в целом: число n занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λ b ), ожидающих обслуживание или получивших отказ заявок (λ c ) в единицу времени и т.д.;
  • вероятностные характеристики : вероятность того, что заявка будет обслужена (P обс) или получит отказ в обслуживании (P отк), что все приборы свободны (p 0) или определенное число их занято (p k ), вероятность наличия очереди и т.д.;
  • экономические показатели : стоимость потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и т.д.
Часть технических показателей (первые две группы) характеризуют систему с точки зрения потребителей , другая часть – характеризует систему с точки зрения её эксплуатационных свойств . Часто выбор перечисленных показателей, может улучшать эксплуатационные свойства системы, но ухудшать систему с точки зрения потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек зрения.
В ходе выполнения домашней контрольной работы изучаются простейшие СМО. Это системы разомкнутого типа, бесконечный источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания и ожидания этих систем являются простейшими. Приоритеты отсутствуют. Системы однофазные.

Многоканальная система с отказами

Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n каналов обслуживания, каждый из которых может обслуживать только одну заявку.
Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не обслуженной.

Смешанные системы

  1. Система с ограничением на длину очереди .
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к моменту ее появления уже находятся m заявок (m – максимально возможноечисло мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала, хотя бы один канал свободным, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему, а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к моменту её поступления в систему заняты все каналы обслуживания и все места в очереди.
    Для каждой системы определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел, тот раньше обслуживается».
  2. Система с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди .
    Состоит из накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала обслуживания лишь ограниченное время Т ож (чаще всего это случайная величина). Если её время Т ож истекло, то заявка покидает очередь и уходит из системы не обслуженной.

Математическое описание СМО

СМО рассматриваются как некоторые физические системы с дискретными состояниями х 0 , х 1 , …, х n , функционирующие при непрерывном времени t . Число состояний n может быть конечным или счетным (n → ∞). Система может переходить из одного состояния х i (i= 1, 2, … , n) в другое х j (j= 0, 1, … ,n) в произвольный момент времени t . Чтобы показать правила таких переходов, используют схему, называемую графом состояний . Для типов перечисленных выше систем графы состояний образуют цепь, в которой каждое состояние (кроме крайних) связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Это схема гибели и размножения.
Переходы из состояния в состояние происходят в случайные моменты времени. Удобно считать, что эти переходы происходят в результате действия каких-то потоков (потоков входных заявок, отказов в обслуживании заявок, потока восстановления приборов и т.д.). Если все потоки простейшие, то протекающий в системе случайный процесс с дискретным состоянием и непрерывным временем будет марковским.
Поток событий - это последовательность однотипных событий, протекающих в случайные моменты времени. Его можно рассматривать как последовательность случайных моментов времени t 1 , t 2 , … появления событий.
Простейшим называют поток, обладающий следующими свойствами:
  • Ординарность . События следуют по одиночке (противоположность потоку, где события следуют группами).
  • Стационарность . Вероятность попадания заданного числа событий на интервал времени Т зависит только от длины интервала и не зависит от того, где на оси времени находиться этот интервал.
  • Отсутствие последействия . Для двух непересекающихся интервалов времени τ 1 и τ 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой интервал.
В простейшем потоке интервалы времени Т 1 , Т 2 ,… между моментами t 1 , t 2 , … появления событий случайны, независимы между собой и имеют показательное распределение вероятностей f(t)=λe -λt , t≥0, λ=const, где λ - параметр показательного распределения, являющийся одновременно интенсивностью потока и представляющий собой среднее число событий, происходящих в единицу времени. Таким образом, t =M[T]=1/λ.
Марковские случайные события описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями . Переменными в них служат вероятности состояний р 0 (t), p 1 (t),…,p n (t) .
Для очень больших моментов времени функционирования систем (теоретически при t → ∞) в простейших системах (системы, все потоки в которых – простейшие, а граф – схема гибели и размножения) наблюдается установившийся, или стационарный режим работы. В этом режиме система будет изменять свое состояние, но вероятности этих состояний (финальные вероятности ) р к , к= 1, 2 ,…, n, не зависят от времени и могут рассматриваться как среднее относительное время пребывания системы в соответствующем состоянии.

WiFi роутеры появились практически в каждом доме. Это не удивительно, учитывая рост популярности мобильных устройств и возможность сократить кабельные соединения внутри квартиры. Но высокая плотность беспроводных сетей приводит к тому, что уровень становится крайне низким, а соединение начинает обрываться в неподходящий момент. Единственный способ решения проблемы – правильно выбрать канал WiFi с наименьшей нагрузкой. Это избавляет от ситуации, когда соседняя сеть использует ту же ячейку в диапазоне, создавая помехи.

Решить проблему поможет WiFi Analyzer. Это бесплатное приложение для планшетов и смартфонов с ОС Андройд, позволяющее искать наименее нагруженные каналы, определять уровень сигнала и т.д. По своей сути – это сканер WiFi сетей с дополнительными функциями и ведением статистики.

Как найти свободные каналы WiFi?

Первым делом необходимо установить из маркета приложение и запустить его на мобильном устройстве. WiFi сканер обладает простым интерфейсом, позволяющим разобраться с программой пользователю с любым уровнем подготовки.

Для того чтобы найти наиболее свободные каналы WiFi, проделаем следующие шаги:

  • Запускаем вай фай анализатор. На главном экране будут показаны сети и используемые номера ячеек.

На скриншоте показано, что сеть с именем home имеет наивысший уровень сигнала и использует 9-11 ячейки в диапазоне.

Важно! В РФ можно использовать только первые 13 каналов, при этом 1,6 и 11 из них – непересекающиеся.

  • Переключаемся в рейтинг каналов. Он обозначается звездами. Чем больше звезд, тем лучше прием.

Проанализировав данные программы легко выбрать свободный канал, при этом не стоит переключать устройства в другие регионы и открывать доступ к 14-му. Такая помощь особенно пригодится жителям мегаполисов, где частота WiFi забита сетями, принадлежащими частным лицам и организациям.

Совет. Выбирайте наиболее свободный канал с наибольшим количеством звезд, чтобы добиться высокого уровня скорости и стабильности связи.