Гармоническая функция включает в себя не только верти­кальное сложение хоровой ткани, но и характер гармоничес­кого развития по горизонтали. К числу ее важнейших компо­нентов и признаков относятся расположение аккорда, его плотность, количество голосов и т.д. Наиболее типичным принципом вертикального расположения хорового аккорда яв­ляется принцип «от широкого - к узкому», суть которого в выстраивании широких интервалов внизу с постепенным сжа­тием их по мере перехода к высоким звукам в соответствии с обертоновым рядом. Расположение аккорда в хоре может быть тесным, широким и смешанным (включающим и тесное, и ши­рокое). Тесное расположение, как правило, производит впе­чатление компактности и собранности. Обычно оно использу­ется в однородном хоре (чаще - женском и детском, реже - мужском). Широкое расположение менее концентрированно и слитно, но зато более объемно и полно. Оно преимуществен­но применяется в смешанном и мужском хоре. Не менее часто в смешанных и мужских составах используется и смешанное расположение аккорда (в мужском хоре оно строится на пре­обладании широких интервалов в нижнем регистре и узких - в верхнем, а в смешанном - в постепенном переходе от широ­ких интервалов в мужских голосах к более узким - в жен­ских). При широком расположении, в отличие от тесного, поле свободного развития мелодического голоса ограничивается, что вызывает необходимость сужения его диапазона.

В гомофонно-гармоническом складе исторически выдели­лись три функции голосов:

В аккордовом складе, в отличие от гомофонного, - только две функции голосов: 1) бас; 2) гармонические голоса.

В целом же звучание хоровой вертикали зависит от мно­жества обстоятельств и условий, среди которых весьма суще­ственными являются: состав хора (однородный, смешанный, неполный), тесситура (низкая, высокая, средняя), плотность звучания, количество голосов, особенности их функциональ­ных связей, динамика, тембровая окраска. Особое влияние на характер звучания аккорда оказывает регистровая напряжен­ность составляющих его звуков. В том случае, если звуки ак­корда расположены в сходных регистрах, аккорд будет зву­чать слитно и уравновешенно. Если же звуки аккорда располагаются в различных по напряженности регистрах, то одни из них могут оказаться более сильными, а другие - бо­лее слабыми. Естественно, что это потребует от хормейстера соответствующей динамической и тембровой корректировки. Одним из приемов такой корректировки может быть измене­ние расположения аккорда, поскольку тесное расположение основывается на сочетании одних, а широкое - других регис­тров одного и того же голоса. В отличие от однородного хора, в котором более уравновешенным является тесное расположе­ние, в смешанном большую уравновешенность создает широ­кое расположение. Оно придает звучанию мягкость и глуби­ну, не лишая его при этом плотности и силы.



Тесное или широкое расположение голосов по вертикали оказывает влияние на динамические нюансы. Так, при широ­ком расположении - в силу удаленности голосов друг от дру­га - не всегда удается создать полноценное насыщенное forte, которое легче достигается при компактном тесном расположе­нии. Зависит динамика и от того, в каком (низком, среднем или высоком) регистре расположен аккорд. Для аккорда, рас 1 положенного в низком регистре, наиболее естественным ню­ансом будет piano, в среднем регистре - mezzo-forte, в высо­ком - forte. Самая широкая динамическая амплитуда возможна в среднем регистре. В нижнем регистре легко полу­чить тишайшее pianissimo, достичь же яркого, насыщенного forte очень трудно. Если же пытаться добиться большой звуч­ности искусственным путем, это может привести к интонационным погрешностям. В высоком регистре, напротив, представ­ляет большую трудность пение piano, что нередко вызывает по­нижение интонации. В целях увеличения насыщенности, плот­ности хоровой ткани и красочности звучания композиторы часто используют разделение партий на несколько голосов (divizi). В однородных и неполных составах хора такое разде­ление позволяет получить полнозвучные аккордовые комплек­сы, компенсирующие отсутствие какого-либо голоса. Исполь­зуется этот прием и для заполнения широких интервалов между голосами в момент кульминации, дабы создать ком­пактную и напряженную звучность. Divizi часто возникают в расходящихся мелодических ходах с постепенным рассло­ением хоровой партии до двух-трехголосия. Чаще же всего применение divizi связано с уплотнением гармонической вер­тикали хорового аккорда путем октавных удвоений (так на­зываемые дублировки), которые создают усиление звучнос­ти и дополнительные фонические эффекты (совпадение октавных обертонов нижних голосов с реально звучащими верхними). Вместе с тем divizi следует рассматривать не толь­ко как средство расцвечивания многоголосной хоровой па­литры, но и как фактор динамизации и развития звучности. В этой связи обратный процесс - слияние divizi в унисон является фактором противоположного выразительно-изобра­зительного воздействия.

Одним из важных условий удобства партитуры с точки зре­ния строя и ансамбля является ясность и логичность голосо­ведения. Чем ближе мелодическая линия каждого голоса к ес­тественному развитию в рамках гармонической вертикали, тем больше предпосылок для достижения хорошего строя и ансамбля.

В хоровой практике зафиксированы следующие наиболее типичные виды голосоведения: прямое, когда голоса движут­ся в одном направлении; параллельное, когда голоса движут­ся, в одном направлении, сохраняя между собой одинаковый интервал; косвенное, при котором один из голосов остается на месте; противоположное, когда голоса движутся в про­тивоположном направлении. Характер совместного движе­ния накладывает соответствующий отпечаток на хоровой колорит. Так, прямое и особенно параллельное движение (как разновидность прямого) создает условия для неизмен­ного объема звучности. При этом уравновешивание по звучности верхней и нижней линий происходит более естествен­но, если композитор или аранжировщик выбрал для них сходные регистры голосов.

Косвенное и противоположное движение обычно связано с изменением общего фактурного и звукового наполнения и объема: ощущение расширения при расходящемся движении и сужения - при сходящемся. В чистом виде на протяжении всей партитуры эти типы движения используются довольно редко. В большинстве случаев они гибко сочетаются и взаи­модействуют в зависимости от изменчивости музыкального об­раза и характера сочинения.

Заметим также, что от характера голосоведения в большой мере зависит выразительно-эмоциональная сторона произведе­ния. Некоторые его типы благодаря ярко выраженной экспрес­сии приобрели даже значение своего рода знака. Так, параллель­ное движение голосов при всем своем образно-экспрессивном богатстве воспринимается чаще всего как единый фонический комплекс, лишенный яркой драматической конкретности. На­против, встречное и противоположное движение мелодий и фак­турных пластов, обозначающее столкновение двух полярных тенденций - спада и подъема, ослабления и усиления энергии, - воспринимается как фактор, свидетельствующий о динамичес­ком и драматургическом развитии музыкальной ткани.

Наслоение - прием соединения, в котором порядок рас­положения голосов по вертикали определяется их естествен­ным высотным соотношением: тенора располагаются над ба­сами, альты - над тенорами, сопрано - над альтами.

Прием перекрещивания характеризуется тем, что при его использовании хоровая партия, более низкая по тесситуре, рас­полагается над вышестоящей (альты - выше сопрано, басы - выше теноров). Такое расположение обычно связано с особен­ностями голосоведения или со стремлением автора получить максимально слитное звучание аккорда.

Следует отметить, что подлинный ансамбль в хоре возникает в результате взаимодействия гармонических и мелодических фун­кциональных элементов хоровых голосов. Иллюстрацией такого взаимодействия является, например, мелодизация средних голо­сов хоровой партитуры, придающая гармоническому развитию гибкость и текучесть, или разнообразные проявления гармоничес­кого начала в самой мелодике. Уяснение роли и характера взаи­модвижения средних голосов, выполняющих роль сердцевины фактуры, ее внутреннего стержня, для дирижера и певцов очень важно. Как справедливо отмечает В.О. Семенюк, «жизнь средних голосов, интонационное выявление их взаимоотношений (прояв­ления "ростков" мелодичности в аккордовых последованиях и т.п.) является наиболее существенной и одной из главных сторон работы над многоголосной фактурой» 1 . Влияние мелодической функции на гармоническую явно просматривается и в фактуре, в частности в тесном или широком расположении голосов.

Солирующая партия звучит рельефнее, если вблизи нее не располагаются другие голоса с развитым голосоведением, ме­шающие восприятию ведущего голоса. Свободное пространство особенно необходимо в тех случаях, когда мелодия оказывает­ся окруженной голосами, выполняющими гармоническую функцию (с этим исполнители чаще всего встречаются при мелодико-гармоническом и гомофонном складе). Гораздо более выиг­рышна для тембрового обособления ситуация, когда мелодия рас­положена над или под сопровождающими голосами (фоном).

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости


и в пространстве

Уравнение (33) при переходе к полярным координатам преобразуется к виду

(33*)


Рис 14 Рис 14.1

Если в пространстве перейти к сферическим координатам


то уравнение (34) примет вид

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (33) или (34) в некоторой области D , называются гармоническими в этой области. Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: U = ах + by + с на плоскости и U = ax + by + cz + d в пространстве. Особый интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных - круговой) симметрией.

Решение U=U(r) , обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения


Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (34*), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим

Где C 1 и C 2 - произвольные постоянные. Полагая C 1 =1 , C 2 =0 , получим функцию

Которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция U 0 является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат 0 .

Аналогично, полагая U=U(r) и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических или полярных координатах, найдем решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

Выбирая С 1 =-1 и С 2 =0 , будем иметь функцию

Которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция U 0 удовлетворяет уравнению Лапласа (33) всюду на плоскости, кроме начала координат 0, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины q , помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен


Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен


где q 1 - линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длины).

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) D радиуса R с центром (х o ,у o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г , ограничивающей данный круг, то есть

При доказательстве этой теоремы применим интегральную формулу Пуассона для круга, которая будет доказана позже в лекции 10 . Она имеет вид (см. рис. 15)


Если в этой формуле положить ρ=0 , то получится формула (35).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (35) для произвольного круга радиуса r , где (см. рис.15.1):


Рис. 15 Рис. 15.1

Умножив обе части равенства (36) на rdr и проинтегрировав по r в пределах от 0 до R , получим:


или


где D - круг радиуса R . Разделив обе части полученного равенства на R 2 /2 , будем иметь

В правой части формулы (37) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R .

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области D функция U=U(x,y) непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке (х о, у о) , то эта функция гармоническая в D . Из формулы (37) получается:

Следствие. Если функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R и непрерывная в соответствующем замкнутом круге ,то

Число называют нормой функции U=U(x,y) в области D , и неравенство (38) можно переписать в виде


Неравенство (38) доказывается совсем просто, если воспользоваться известным неравенством Коши-Буняковского:


Применим это неравенство к формуле (37):


Что и требовалось доказать.

Гармонические функции, помимио вышеуказанных свойств, обладают и многими другими свойствами. Приведем еще два из них.

Неравенство Харнака. Пусть функция гармоническая в некотором круге D радиуса R c центром (x o , у o) и непрерывная в соответствующем круге Тогда при любом она удовлетворяет неравенству

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой . Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

Равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N - любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d - кратчайшее расстояние от границы S области D (d - положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в , может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где - окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства

Изучим дополнительные свойства линейных операторов, связанные с понятием ортогональности в евклидовом пространстве. Вначале докажем следующее свойство: если A и B – линейные операторы, действующие в n -мерном евклидовом пространстве V , и (x , Ay ) = (x , By ), x , y V , то A = B .

В самом деле, положив в равенстве (x , Ay ) = (x , By ) Û (x , (A – B )y ) = 0 вектор x = (A – B )y , получим ((A –B )y , (A – B )y ) = ||(A – B )y || 2 = 0, y V , что равносильно равенству (A – B )y = 0 , y V , т. е. A – B = O , или A = B .

Определение 11.1. Линейный оператор A * называется сопряженным оператору A , если

(Ax , y ) = (x , A * y ), x , y V . (11.1)

Естественно возникает вопрос: существует ли для заданного оператора A сопряженный?

Теоремa 11.1. Каждый линейный оператор A имеет единственный сопряженный оператор A * .

Доказательство. Выберем в пространстве V ортонормированный базис u 1 , u 2 ,…, u n . Каждому линейному оператору A : V ®V в этом базисе отвечает матрица А = , i , j = 1, 2,..., n . Пусть – матрица, полученная из матрицы А транспонированием. Ей соответствует линейный оператор B . Тогда

(Au j , u i ) = (а 1 j u 1 + а 2 j u 2 +…+ а nj u n , u i ) = а ij ;

(u j , Bu i ) = (u j , а i 1 u 1 + а i 2 u 2 +…+ а in u n ) = а ij .

(Au j , u i ) = (u j , Bu i ), i , j = 1, 2,..., n . (11.2)

Пусть далее x = x 1 u 1 + x 2 u 2 +…+ x n u n и y = у 1 u 1 + у 2 u 2 +…+ у n u n – любые два вектора из V . Рассмотрим скалярные произведения (Ax , y ) и (x , By ):

(Ax , y ) = (Au j , u i ),

(x , By ) = (u j , Bu i ).

Сравнивая эти выражения с учетом равенства (11.2) и отмеченного выше свойства, получаем равенство (Ax , y ) = (x , By ), x , y V , т. е. B = A * .

Таким образом, доказано, что для каждого линейного оператора A в конечномерном евклидовом пространстве существует сопряженный ему оператор A * , матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной по отношению к матрице оператора A . Единственность оператора A * следует из определения сопряженного оператора и доказанного выше свойства.¨

Легко убедиться в том, что оператор A * , сопряженный линейному оператору A , является линейным.

Итак, оператор A * линеен и ему соответствует матрица A * . Поэтому соответствующее формуле (11.1) матричное соотношение имеет вид

(А x , y ) = (x , A * y ), x , y V .

Сопряженные операторы обладают следующими свойствами:

1°. Е * = Е .

2°. (A *) * = A .

3°. (A + B ) * = A * + B * .

4°. (А ) * = A * , R .

5°. (AB ) * = B * A * .

6°. (A –1) * = (A *) –1 .

Справедливость свойств 1°–5° вытекает из свойств транспонирования матриц.

Убедимся в справедливости свойства 6°. Пусть A –1 существует. Тогда из равенств AA –1 = A –1 A = Е и свойств 1°, 5° вытекает, что (AA –1) * = (A –1 A ) * = Е * = = Е и (AA –1) * = (A –1) * A * , (A –1 A ) * = A * (A –1) * , т. е. что (A –1) * = (A *) –1 . Отсюда получаем еще одно важное свойство транспонирования матриц:


(A –1) * = (A *) –1 .

Пример 1. Пусть A – поворот евклидовой плоскости R 2 на угол j с матрицей

в ортонормированном базисе i , j . Тогда матрицей сопряженного оператора в этом базисе является

= .

Следовательно, A * – поворот плоскости на угол j в противоположном направлении.·

Ненулевой элемент х G V называется собственным элементом линейного оператора А: V V, если найдется такое число Л - собственное значение линейного оператора А, что Пример 1. Всякий многочлен нулевой степени является собственным элементом оператора дифференцирования соответствующее собственное значение равно нулю: Пример 2. Оператор дифференцирования Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. собственных элементов не имеет. Пусть некоторый тригонометрический многочлен a cos t + 0 sin t после дифференцирования переходит в пропорциональный: Это означает, что или, что то же, Последнее равенство выполняется в том и только в том случае, если откуда вытекает, что a = р = 0 и, значит, многочлен может быть только нулевым. Теорема 6. Вещественное число А является собственным значением линейного оператора А в том и только в том случае, когда это число - корень его характеристического многочлена: х(А) = 0. Неоходимость. Пусть А - собственное значение оператора А. Тогда найдется ненулевой элемент х, для которого Ах = Ах. Пусть - базис пространства. Тогда последнее равенство можно переписать в эквивалентном матричном виде или, что то же, И этого, что х - собственный элемент, вытекает, что его координатный столбец х(с) ненулевой. Это означает, что линейная система (1) имеет ненулевое решение. Последнее возможно лишь при условии, что или, что то же, Достаточность. Способ построения собственного элемента. Пусть А - корень многочлена Рассмотрим однородную линейную систему с матрицей А(с) - АI: В силу условия (2) эта система имеет ненулевое решение,. Построим элемент х по правилу Координатный столбец х(с) этого элемента удовлетворяет условию или, что тоже, Последнее эквивалентно тому, что или, подробнее, Следовательно, х - собственный элементлинейного оператора Л, а А - соответствующее ему собственное значение. Замечание. Для нахождения всех собственных элементов, отвечающих заданному собственному значению А, необходимо построить ФСР системы (3). Пример 1. Найти собственные векторы линейного оператора действующего по правилу (оператор проектирования) (рис.6). М Рассмотрим действия линейного оператора Р на базисные векторы. Имеем Запишем матрицу оператора: Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. построим характеристический многочлен и найдем его корни. Имеем Построим однородные линейные системы с матрицами: Получим соответственно: Найдем фундаментальные системы решений для каждой из этих систем. Имеем 1 Таким образом, собственными векторами этого оператора проектирования являются: вектор к с собственным значением 0 и любой вектор с собственным значением Пример 2. Найти собственные элементы линейного оператора дифференцирования V, действующего в пространстве Afj многочленов степени не выше двух: Матрица D заданного оператора в базисе I, t, О имеет вид характеристический многочлен -А3 имеет ровно один корень А = 0. Решением системы является набор 1,0,0, которому соответствует многочлен нулевой степени. §5. Сопряженный оператор В евклидовом пространстве над линейными операторами можноввестиешеоднодей-ствие - операцию сопряжения. Пусть V - n-мерное евклидово пространство. С каждым линейным оператором действующим в этом пространстве; естественно связан другой линейный оператор, сопряженный данному. Определение. Линейный оператор (читается: «а со звездой») называется сопряженным линейному оператору А: V -* V, если для любых элементов х и у из пространства V выполняется равенство Линейный оператор А*, сопряженный данному оператору А, всегда существует. Пусть с = (et,..., en) - ортобазис пространства V и А = А(с) = (о^) - матрица линейного оператора А в этом базисе, т. е. Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что для линейного оператора А": V -» V, определяемого по правилу равенство (1) выполненоприлюбыхх и у. Напомним,чтосогласнотеореме 1, для того, чтобы построить линейный оператор, достаточно задать его действие на базисные элементы. Пример. Введем в линейном пространстве М\ многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше первой операцию скалярного умножения по следующему правилу. Пусть Положим Тем самым, М\ - двумерное евклидово пространство. Пусть V: М\ - М\ - оператор дифференцирования: V(a + d»f) = Ь. Построим сопряженный оператор. Матрица оператора V в этом базисе имеет вид. Тогда - матрица сопряженного оператора V, действующего по правилу: Для произвольного многочлена получаем Свойства операции сопряжения 1. Укаждоголинейногооператорасуществуетровноодинсопряженныйемуоператор. Пусть В и С - операторы, сопряженные заданном уоператору А. Это означает, что для любых элементов х и у из пространства V выполняются равенства Отсюда вытекает, что Собственные значения и собственные элементы. Сопряженный оператор. и, далее, В силу произвольности выбора элемента х заключаем, что элемент Ву-Су ортогонален любому элементу пространства V и, в частности, себе самому. Последнее возможно лишь в случае, когда By - Су = 0 и, значит, By = С у. Вследствие того, что у - произвольный элемент, получаем В ~ С. 2. (а.4)* = аЛ*, где а - произвольное вещественное число. Пусть A:V -+ V и B:V -+ V - линейные операторы. Тогда Свойства 2-5 легко вытекают из единственности сопряженного оператора. 6. Пусть с - ортобазис пространства V. Для того, чтобы операторы А: V V и В: V -» V были взаимносопряженными, т.е. выполнялись равенства В = А", А = В*, необходимо и достаточно, чтобы их матрицы А = А(с) и В = В(с) получались одна из другой транспонированием. Замечание. Подчеркнем, что свойство 6 справедливо только для матрии, построенных в ортонормнро-ванном базисе. Для произвольного базиса оно неверно. 7. Если линейный оператор А невырожден, то сопряженный ему оператор А* также невырожден и выполняется равенство