Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики (АЧХ и ФЧХ).

АЧХ представляет собой зависимость модуля коэффициента усиления от частоты входного сигнала, ФЧХ – зависимость угла сдвига фаз между входным и выходным напряжением от частоты.

Типовая АЧХ приведена на рис.5, а ФЧХ на рис. 6.

Рис. 5. Амплитудо-частотная характеристика усилителя.

На рис. 5 f Н и f В - нижняя и верхняя граничные частоты, за пределами которых коэффициент усиления усилителя уменьшается в раз по сравнению с коэффициентом усиления на средней частоте, а (f В - f Н) – полоса пропускания усилителя.

При усилении сигналов сложной формы, содержащей ряд гармонических составляющих, могут возникнуть искажения, так как гармоники усиливаются неодинаково из-за наличия реактивных элементов в схеме усилителя. Искажения, возникающие при этом, называются частотными и характеризуются коэффициентом частотных искажений М. Определяют искажения на нижней и верхней частотах:

М Н = К О / К Н и М В = К О /К В. , где К Н и К В – коэффициенты усиления на нижней и верхней граничных частотах. Амплитудно-частотная характеристика может быть построена в логарифмическом масштабе (ЛАЧХ). При этом, коэффициент усиления выражается в дБ, а по оси абсцисс откладывают частоты в логарифмическом масштабе.

Фазовые искажения возникают при сдвиге по фазе различных гармонических составляющих при усилении сигнала. Типовая ФЧХ приведена на рис. 6. Она также может быть построена в логарифмическом масштабе.

Рис. 6. Фазо-частотная характеристика усилителя.

Переходная характеристика усилителя представляет собой зависимость выходного сигнала (тока или напряжения) от времени при воздействии скачкообразного (импульсного) напряжения на входе. Вид переходной характеристики представлен на рис.5, где “δ” определяет выброс фронта выходного импульса, а “Δ” - спад вершины импульса.

Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.

Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой А вх = 1 и некоторой частотой w, т.е.

x(t) = А вх sin(wt) = sin(wt).

Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигнал той же частоты w, но другой амплитуды А вых и фазы j:

у(t) = А вых sin(wt + j)

При разных значениях w величины А вых и j, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой.

Виды ЧХ:

·

у” « s 2 Y и т.д.

Определим производные ЧХ:

у’(t) = jw А вых е j (w t + j) = jw у,

у”(t) = (jw) 2 А вых е j (w t + j) = (jw) 2 у и т.д.

Отсюда видно соответствие s = jw.

Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jw.

Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:

, ,

где Re(w) и Im(w) - соответственно вещественная и мнимая части выражения для АФХ.

Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:

Re(w) = A(w) . cos j(w), Im(w) = A(w) . sin j(w).

График АЧХ всегда расположен в одной четверти, т.к. частота w > 0 и амплитуда А > 0. График ФЧХ может располагаться в двух четвертях, т.е. фаза j может быть как положительной, так и отрицательной. График АФХ может проходить по всем четвертям.

При графическом построении АЧХ по известной АФХ на кривой АФХ выделяются несколько ключевых точек, соответствующих определенным частотам. Далее измеряются расстояния от начала координат до каждой точки и на графике АЧХ откладываются: по вертикали - измеренные расстояния, по горизонтали - частоты. Построение АФХ производится аналогично, но измеряются не расстояния, а углы в градусах или радианах.

Для графического построения АФХ необходимо знать вид АЧХ и ФЧХ. При этом на АЧХ и ФЧХ выделяются несколько точек, соответствующих некоторым частотам. Для каждой частоты по АЧХ определяется амплитуда А, а по ФЧХ - фаза j. Каждой частоте соответствует точка на АФХ, расстояние до которой от начала координат равно А, а угол относительно положительной полуоси Re равен j. Отмеченные точки соединяются кривой.

Пример : .

При s = jw имеем

= = = =

3.3 Примеры расчета

Для звеньев, заданных передаточными функциями

, ,

построить частотные характеристики при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Пример 1. Рассмотрим реальное дифференцирующее звено.

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда –

,

откуда .

Получили: .

3. Подставляя значения k = 2, T = 3 , строим амплитудно-фазовуючастотнуюхарактеристикупри w , изменяющемся от 0

до ¥ (рис. 2).

Рисунок 2. Амплитудно-фазовые частотные характеристики

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику (рис. 3).

Рисунок 3. Амплитудно-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику рис. 4.

8. Изменяя значение k = 4 , при прежнем T = 3 , строим w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).

9. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 рис. 3.

10. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид: , т.е. не зависит от коэффициента усиления, то график фазово-частотной характеристики при изменении коэффициента усиления меняться не будет (см. рис. 4).

Рисунок 4. Фазовые частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

11. Изменяя значение T = 1 , при первоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 2).

12. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 3).

13. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1 (см. рис. 4).

Пример 2. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка.

1. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: . Заменив р на jω , получим: – амплитудно-фазовая частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

откуда .

Получили:

, .

3. Подставляя значения k = 2, T 1 = 3, T 2 = 5 , строим амплитудно-фазовую частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (рис. 5).

Рисунок 5. Амплитудно-фазовые частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

4. Амплитудная частотная характеристика:

Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7 с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику, (см. рис. 7).

5. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7 с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику (рис. 6).

Рисунок 6. Фазово-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

Изменяя значение k = 4, при прежнем T 1 = 3, T 2 = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).

6. Амплитудно-частотная характеристика при w от 0 до 7 с шагом 0,1 (рис. 7).

Рисунок 7. Амплитудно-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

7. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид:

т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится (см. рис. 6).

8. Изменяя значения T 1 = 1, T 2 = 2 ,припервоначальном , k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w , изменяющемся от 0 до ¥ (см. рис. 5).

9. Амплитудная частотная характеристика при и задания

1. Назовите динамические характеристики объекта?

2. В каких формах может быть представлена частотная передаточная функция?

3. Как представляется частотная передаточная функции на комплексной плоскости?

4. Дать определение амплитудно-частотной характеристике.

5. Дать определение фазовой частотной характеристике.

6. Каков алгоритм построения частотных характеристик?

H() – частотно-зависимая комплексная функция. Ее модуль называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а арктангенс отношения мнимой и вещественной частей – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На векторной диаграмме представлена геометрическая интерпретация передаточной функции. С ее помощью легко понять, как получаются выражения для АЧХ и ФЧХ.

Поскольку выражения для АЧХ и ФЧХ содержат частотно-зависимые компоненты, естественно, что обе эти характеристики частотно-зависимые (отсюда их названия). По сути, именно эту особенность мы и используем для фильтрации.

Рассмотрим выражения для АЧХ в двух крайних точках. При частоте = 0 на входе имеем постоянный ток, значение АЧХ стремится к нулю вследствие большой величины знаменателя. В другой крайней точке частотастремится к бесконечности, а значение АЧХ приближается к единице. Это дает нам представление о поведении АЧХ как функции частоты.

Еще одной важной точкой на графике АЧХ является «частота среза». Она задается как точка, в которой значение АЧХ падает до (1/
) от своей величины в полосе пропускания, и обычно называется «точкой 3 дБ». Ее можно рассчитать, используя выражение для АЧХ, после возведения в квадрат обеих частей равенства. Частота срезаf c = 1/2RC указывает на точку перегиба в ФЧХ фильтра. У ФВЧ, за частотой среза практически отсутствует затухание входного сигнала.

ФЧХ можно рассчитать по соответствующему выражению. ФЧХ начинается с 90-градусным опережением на низких частотах и падает до 45 о на частоте среза. За частотой среза и далее, в направлении более высоких частот, сдвиг фазы продолжает падать. Во всех реальных приложениях нас интересует поведение ФЧХ в полосе пропускания. В данном конкретном случае ФЧХ в полосе пропускания изменяется от 45 о (опережение фазы) до 0 о. Возможно, что это отвечает требованиям для ряда приложений, например таких, как низкокачественная запись речи.

1. Фильтр нижних частот

Простой ФНЧ представляет собой RC-цепочку, состоящую из конденсатора и резистора. Характеристики ФНЧ очень похожи на характеристики ФВЧ, который мы только что рассмотрели. Единственная разница заключается в том, что они повернуты по частоте в обратном направлении (реверсируются), как и ожидалось. АЧХ опускается ниже единицы за частотой среза. Фаза выходного сигнала отстает от фазы входного сигнала на 45 о на частоте среза, и это отставание возрастает до 90 о на более высоких частотах.

Мы познакомились с двумя очень простыми фильтрами. Теперь мы знаем, что сигнал ослабляется на определенных частотах, а фаза выходного сигнала изменяется с частотой. Но как убедиться в том, что характеристики фильтра отвечают нашим целям? Что является критерием при сравнении характеристик фильтров?

Теперь определимся с терминологией и сформулируем некоторые требования к характеристикам фильтров.

1. Ачх в дБ и частота в декадах

Диапазон возможных чисел будет больше, а количество нулей в записи числа меньше, если представлять числа в логарифмическом масштабе. Традиционно АЧХ фильтров представляется в децибелах (дБ). Децибел определяется следующим образом: АЧХ (дБ) = 20 lg (АЧХ).

Декада – это единица измерения, используемая для частоты, которая, аналогично децибелам, позволяет охватить больший диапазон частот нетривиальным способом. Например, спад 20 дБ/декада означает, что затухание фильтра увеличивается на 20 дБ за каждую декаду частоты ) .

Амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики одного каскада ОУ

Любой многокаскадный усилитель на высоких частотах можно представить в виде ряда генераторов сигнала KU вх, нагруженных на соответствующие эквивалентные интегрирующие RC-цепи. Количество таких цепей равно числу отдельных каскадов усиления.

Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики одного такого каскада описываются следующими выражениями:

.

Если выполняется обычное для ОУ неравенство R н >>R вых, то

.

Графическая зависимость от частоты модуля коэффициента передачи напряжения ОУ и сдвига фазы выходного сигнала относительно входного приведена на рис. 78.

Рис. 78. АЧХ и ФЧХ одного каскада ОУ

АЧХ и ФЧХ усилителя обычно стоят в логарифмическом масштабе. На частоте f гр, где резистивное и емкостное сопротивления равны аппроксимированная АЧХ претерпевает излом. На частоте излома усиление усилителя падает на 3 дБ. Начиная с f гр при увеличении частоты в 10 раз (на декаду) во сколько же раз (т. е. на 20 дБ) уменьшается коэффициент усиления по напряжения каскада. Таким образом скорость спада АЧХ за частотой излома составляет –20 дБ/дек или –6 дБ/октаву (октаве соответствует изменение частоты в два раза).

Фазо-частотная характеристика аппроксимируется тремя отрезками прямых, причем наклон прямой составляет – 45° /дек, а сопряжение асимптот происходит на частотах 0,1 f гр и 10 f гр при максимальной погрешности аппроксимации 5,7° . На частоте f гр,отставание фазы выходного сигнала по отношению ко входному составляет 45° . На частоте f т усиление усилителя уменьшается до 0 дБ или единицы, а фазовый сдвиг достигает –90° .